Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22380 / 12092
↖ ↑ ↗
← N 81.176176°
W118.531494°		 ← 46.85 m → N 81.176176°
W118.528747°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
N 81.175755°
W118.531494°		 ← 46.85 m →
2 194 m²		 N 81.175755°
W118.528747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170749664306641 y=0.0922584533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170749664306641 × 217)
    floor (0.170749664306641 × 131072)
    floor (22380.5)     		tx = 22380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0922584533691406 × 217)
    floor (0.0922584533691406 × 131072)
    floor (12092.5)     		ty = 12092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22380 / 12092 ti = "17/22380/12092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22380/12092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22380 ÷ 217
    22380 ÷ 131072     		x = 0.170745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12092 ÷ 217
    12092 ÷ 131072     		y = 0.092254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.65850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06876484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092254638671875 × 2 - 1) × π
    0.81549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56193966329428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06876484} λ = -2.06876484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56193966329428))-π/2
    2×atan(12.9609327954845)-π/2
    2×1.49379393983976-π/2
    2.98758787967952-1.57079632675     		φ = 1.41679155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06876484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.531494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41679155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.176176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22380 KachelY 12092 -2.06876484 1.41679155 -118.531494 81.176176
    Oben rechts KachelX + 1 22381 KachelY 12092 -2.06871690 1.41679155 -118.528747 81.176176
    Unten links KachelX 22380 KachelY + 1 12093 -2.06876484 1.41678420 -118.531494 81.175755
    Unten rechts KachelX + 1 22381 KachelY + 1 12093 -2.06871690 1.41678420 -118.528747 81.175755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41679155-1.41678420) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41679155-1.41678420) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06876484--2.06871690) × cos(1.41679155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153396730996765 × 6371000     		do = 46.8513100782371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06876484--2.06871690) × cos(1.41678420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153403994003049 × 6371000     		du = 46.8535283873062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41679155)-sin(1.41678420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153396730996765-0.153403994003049)×R²
    abs(-2.06871690--2.06876484)×7.26300628464682e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.26300628464682e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.26300628464682e-06×40589641000000     		ar = 2193.95120748999m²