Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 22376 / 12072
↖ ↑ ↗
← N 81.184599°
W118.542481°		 ← 46.81 m → N 81.184599°
W118.539734°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
N 81.184178°
W118.542481°		 ← 46.81 m →
2 192 m²		 N 81.184178°
W118.539734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170719146728516 y=0.0921058654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170719146728516 × 217)
    floor (0.170719146728516 × 131072)
    floor (22376.5)     		tx = 22376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0921058654785156 × 217)
    floor (0.0921058654785156 × 131072)
    floor (12072.5)     		ty = 12072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22376 / 12072 ti = "17/22376/12072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22376/12072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22376 ÷ 217
    22376 ÷ 131072     		x = 0.17071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12072 ÷ 217
    12072 ÷ 131072     		y = 0.09210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.6585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.06895659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09210205078125 × 2 - 1) × π
    0.8157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56289840128668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06895659} λ = -2.06895659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56289840128668))-π/2
    2×atan(12.9733648927822)-π/2
    2×1.49386743865353-π/2
    2.98773487730707-1.57079632675     		φ = 1.41693855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06895659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.542481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41693855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.184599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22376 KachelY 12072 -2.06895659 1.41693855 -118.542481 81.184599
    Oben rechts KachelX + 1 22377 KachelY 12072 -2.06890865 1.41693855 -118.539734 81.184599
    Unten links KachelX 22376 KachelY + 1 12073 -2.06895659 1.41693120 -118.542481 81.184178
    Unten rechts KachelX + 1 22377 KachelY + 1 12073 -2.06890865 1.41693120 -118.539734 81.184178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41693855-1.41693120) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41693855-1.41693120) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06895659--2.06890865) × cos(1.41693855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153251469131349 × 6371000     		do = 46.8069433654987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06895659--2.06890865) × cos(1.41693120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153258732303296 × 6371000     		du = 46.8091617251655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41693855)-sin(1.41693120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153251469131349-0.153258732303296)×R²
    abs(-2.06890865--2.06895659)×7.2631719476024e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2631719476024e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2631719476024e-06×40589641000000     		ar = 2191.87365535345m²