Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2237 / 1971
↖ ↑ ↗
← N  6.751896°
E 16.611328°		 ← 9 705.21 m → N  6.751896°
E 16.699219°		 →
↑
9 706.03 m
↓
↑
9 706.03 m
↓
N  6.664608°
E 16.611328°		 ← 9 706.95 m →
94 207 460 m²		 N  6.664608°
E 16.699219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5462646484375 y=0.4813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5462646484375 × 212)
    floor (0.5462646484375 × 4096)
    floor (2237.5)     		tx = 2237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4813232421875 × 212)
    floor (0.4813232421875 × 4096)
    floor (1971.5)     		ty = 1971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2237 / 1971 ti = "12/2237/1971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2237/1971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2237 ÷ 212
    2237 ÷ 4096     		x = 0.546142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1971 ÷ 212
    1971 ÷ 4096     		y = 0.481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546142578125 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481201171875 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28992237} λ = 0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118116520663818))-π/2
    2×atan(1.12537523319721)-π/2
    2×0.844319575428413-π/2
    1.68863915085683-1.57079632675     		φ = 0.11784282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11784282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.751896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2237 KachelY 1971 0.28992237 0.11784282 16.611328 6.751896
    Oben rechts KachelX + 1 2238 KachelY 1971 0.29145635 0.11784282 16.699219 6.751896
    Unten links KachelX 2237 KachelY + 1 1972 0.28992237 0.11631935 16.611328 6.664608
    Unten rechts KachelX + 1 2238 KachelY + 1 1972 0.29145635 0.11631935 16.699219 6.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11784282-0.11631935) × R
    0.00152347 × 6371000     		dl = 9706.02736999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11784282-0.11631935) × R
    0.00152347 × 6371000     		dr = 9706.02736999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28992237-0.29145635) × cos(0.11784282) × R
    0.00153397999999999 × 0.99306456645326 × 6371000     		do = 9705.20668102117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28992237-0.29145635) × cos(0.11631935) × R
    0.00153397999999999 × 0.993242528721517 × 6371000     		du = 9706.94590388058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11784282)-sin(0.11631935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99306456645326-0.993242528721517)×R²
    abs(0.29145635-0.28992237)×0.000177962268256393×R²
    0.00153397999999999×0.000177962268256393×6371000²
    0.00153397999999999×0.000177962268256393×40589641000000     		ar = 94207460.3708228m²