Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22369 / 47840
↖ ↑ ↗
← S 63.470145°
W 57.123413°		 ← 272.85 m → S 63.470145°
W 57.117920°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
S 63.472598°
W 57.123413°		 ← 272.82 m →
74 431 m²		 S 63.472598°
W 57.117920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341331481933594 y=0.729988098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341331481933594 × 216)
    floor (0.341331481933594 × 65536)
    floor (22369.5)     		tx = 22369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729988098144531 × 216)
    floor (0.729988098144531 × 65536)
    floor (47840.5)     		ty = 47840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22369 / 47840 ti = "16/22369/47840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22369/47840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22369 ÷ 216
    22369 ÷ 65536     		x = 0.341323852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47840 ÷ 216
    47840 ÷ 65536     		y = 0.72998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341323852539062 × 2 - 1) × π
    -0.317352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99699164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99699164} λ = -0.99699164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44500990214697))-π/2
    2×atan(0.235743742175123)-π/2
    2×0.231516662134198-π/2
    0.463033324268396-1.57079632675     		φ = -1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99699164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.123413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22369 KachelY 47840 -0.99699164 -1.10776300 -57.123413 -63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 22370 KachelY 47840 -0.99689576 -1.10776300 -57.117920 -63.470145
    Unten links KachelX 22369 KachelY + 1 47841 -0.99699164 -1.10780582 -57.123413 -63.472598
    Unten rechts KachelX + 1 22370 KachelY + 1 47841 -0.99689576 -1.10780582 -57.117920 -63.472598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10776300--1.10780582) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10776300--1.10780582) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99699164--0.99689576) × cos(-1.10776300) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 272.84541460568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99699164--0.99689576) × cos(-1.10780582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.446625768912342 × 6371000     		du = 272.822011946063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10776300)-sin(-1.10780582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.446625768912342)×R²
    abs(-0.99689576--0.99699164)×3.83115378826404e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.83115378826404e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.83115378826404e-05×40589641000000     		ar = 74430.7340185003m²