Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22367 / 47839
↖ ↑ ↗
← S 63.467691°
W 57.134400°		 ← 272.87 m → S 63.467691°
W 57.128906°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
S 63.470145°
W 57.134400°		 ← 272.85 m →
74 437 m²		 S 63.470145°
W 57.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341300964355469 y=0.729972839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341300964355469 × 216)
    floor (0.341300964355469 × 65536)
    floor (22367.5)     		tx = 22367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729972839355469 × 216)
    floor (0.729972839355469 × 65536)
    floor (47839.5)     		ty = 47839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22367 / 47839 ti = "16/22367/47839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22367/47839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22367 ÷ 216
    22367 ÷ 65536     		x = 0.341293334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47839 ÷ 216
    47839 ÷ 65536     		y = 0.729965209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341293334960938 × 2 - 1) × π
    -0.317413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99718339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.459930419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44491402834773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99718339} λ = -0.99718339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44491402834773))-π/2
    2×atan(0.23576634490682)-π/2
    2×0.231538074743628-π/2
    0.463076149487257-1.57079632675     		φ = -1.10772018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99718339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.134400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10772018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.467691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22367 KachelY 47839 -0.99718339 -1.10772018 -57.134400 -63.467691
    Oben rechts KachelX + 1 22368 KachelY 47839 -0.99708751 -1.10772018 -57.128906 -63.467691
    Unten links KachelX 22367 KachelY + 1 47840 -0.99718339 -1.10776300 -57.134400 -63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 22368 KachelY + 1 47840 -0.99708751 -1.10776300 -57.128906 -63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10772018--1.10776300) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10772018--1.10776300) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99718339--0.99708751) × cos(-1.10772018) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.446702391169125 × 6371000     		do = 272.868816765336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99718339--0.99708751) × cos(-1.10776300) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 272.845414605996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10772018)-sin(-1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446702391169125-0.446664080450225)×R²
    abs(-0.99708751--0.99718339)×3.83107189005916e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.83107189005916e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.83107189005916e-05×40589641000000     		ar = 74437.1183419257m²