Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22363 / 47451
↖ ↑ ↗
← S 62.499638°
W 57.156372°		 ← 282.03 m → S 62.499638°
W 57.150879°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
S 62.502175°
W 57.156372°		 ← 282.01 m →
79 543 m²		 S 62.502175°
W 57.150879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341239929199219 y=0.724052429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341239929199219 × 216)
    floor (0.341239929199219 × 65536)
    floor (22363.5)     		tx = 22363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724052429199219 × 216)
    floor (0.724052429199219 × 65536)
    floor (47451.5)     		ty = 47451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22363 / 47451 ti = "16/22363/47451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22363/47451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22363 ÷ 216
    22363 ÷ 65536     		x = 0.341232299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47451 ÷ 216
    47451 ÷ 65536     		y = 0.724044799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341232299804688 × 2 - 1) × π
    -0.317535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99756688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724044799804688 × 2 - 1) × π
    -0.448089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40771499424257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99756688} λ = -0.99756688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40771499424257))-π/2
    2×atan(0.244701789813539)-π/2
    2×0.239985929667388-π/2
    0.479971859334776-1.57079632675     		φ = -1.09082447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99756688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.156372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09082447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.499638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22363 KachelY 47451 -0.99756688 -1.09082447 -57.156372 -62.499638
    Oben rechts KachelX + 1 22364 KachelY 47451 -0.99747101 -1.09082447 -57.150879 -62.499638
    Unten links KachelX 22363 KachelY + 1 47452 -0.99756688 -1.09086874 -57.156372 -62.502175
    Unten rechts KachelX + 1 22364 KachelY + 1 47452 -0.99747101 -1.09086874 -57.150879 -62.502175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09082447--1.09086874) × R
    4.42699999998464e-05 × 6371000     		dl = 282.044169999021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09082447--1.09086874) × R
    4.42699999998464e-05 × 6371000     		dr = 282.044169999021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99756688--0.99747101) × cos(-1.09082447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461754212478575 × 6371000     		do = 282.033825727889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99756688--0.99747101) × cos(-1.09086874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461714944185561 × 6371000     		du = 282.009841134767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09082447)-sin(-1.09086874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461754212478575-0.461714944185561)×R²
    abs(-0.99747101--0.99756688)×3.92682930139832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92682930139832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92682930139832e-05×40589641000000     		ar = 79542.6139447835m²