Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22360 / 47318
↖ ↑ ↗
← S 62.160372°
W 57.172851°		 ← 285.24 m → S 62.160372°
W 57.167358°		 →
↑
285.23 m
↓
↑
285.23 m
↓
S 62.162937°
W 57.172851°		 ← 285.21 m →
81 355 m²		 S 62.162937°
W 57.167358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341194152832031 y=0.722023010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341194152832031 × 216)
    floor (0.341194152832031 × 65536)
    floor (22360.5)     		tx = 22360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722023010253906 × 216)
    floor (0.722023010253906 × 65536)
    floor (47318.5)     		ty = 47318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22360 / 47318 ti = "16/22360/47318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22360/47318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22360 ÷ 216
    22360 ÷ 65536     		x = 0.3411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47318 ÷ 216
    47318 ÷ 65536     		y = 0.722015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99785450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.44403076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39496377894363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99785450} λ = -0.99785450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39496377894363))-π/2
    2×atan(0.247842013304184)-π/2
    2×0.242946587810777-π/2
    0.485893175621554-1.57079632675     		φ = -1.08490315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99785450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.172851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08490315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.160372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22360 KachelY 47318 -0.99785450 -1.08490315 -57.172851 -62.160372
    Oben rechts KachelX + 1 22361 KachelY 47318 -0.99775863 -1.08490315 -57.167358 -62.160372
    Unten links KachelX 22360 KachelY + 1 47319 -0.99785450 -1.08494792 -57.172851 -62.162937
    Unten rechts KachelX + 1 22361 KachelY + 1 47319 -0.99775863 -1.08494792 -57.167358 -62.162937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08490315--1.08494792) × R
    4.47700000001383e-05 × 6371000     		dl = 285.229670000881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08490315--1.08494792) × R
    4.47700000001383e-05 × 6371000     		dr = 285.229670000881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99785450--0.99775863) × cos(-1.08490315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466998344516887 × 6371000     		do = 285.236877441155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99785450--0.99775863) × cos(-1.08494792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466958755809728 × 6371000     		du = 285.212697142992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08490315)-sin(-1.08494792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466998344516887-0.466958755809728)×R²
    abs(-0.99775863--0.99785450)×3.95887071587553e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95887071587553e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95887071587553e-05×40589641000000     		ar = 81354.5719688675m²