Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22360 / 12104
↖ ↑ ↗
← N 81.171119°
W118.586426°		 ← 46.88 m → N 81.171119°
W118.583679°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
N 81.170698°
W118.586426°		 ← 46.88 m →
2 198 m²		 N 81.170698°
W118.583679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170597076416016 y=0.0923500061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170597076416016 × 217)
    floor (0.170597076416016 × 131072)
    floor (22360.5)     		tx = 22360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923500061035156 × 217)
    floor (0.0923500061035156 × 131072)
    floor (12104.5)     		ty = 12104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22360 / 12104 ti = "17/22360/12104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22360/12104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22360 ÷ 217
    22360 ÷ 131072     		x = 0.17059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12104 ÷ 217
    12104 ÷ 131072     		y = 0.09234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.6588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.06972358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09234619140625 × 2 - 1) × π
    0.8153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56136442049884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06972358} λ = -2.06972358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56136442049884))-π/2
    2×atan(12.9534792562746)-π/2
    2×1.49374980711637-π/2
    2.98749961423274-1.57079632675     		φ = 1.41670329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06972358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41670329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.171119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22360 KachelY 12104 -2.06972358 1.41670329 -118.586426 81.171119
    Oben rechts KachelX + 1 22361 KachelY 12104 -2.06967564 1.41670329 -118.583679 81.171119
    Unten links KachelX 22360 KachelY + 1 12105 -2.06972358 1.41669593 -118.586426 81.170698
    Unten rechts KachelX + 1 22361 KachelY + 1 12105 -2.06967564 1.41669593 -118.583679 81.170698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41670329-1.41669593) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41670329-1.41669593) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06972358--2.06967564) × cos(1.41670329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153483945814204 × 6371000     		do = 46.8779477283923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06972358--2.06967564) × cos(1.41669593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153491218602448 × 6371000     		du = 46.8801690251237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41670329)-sin(1.41669593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153483945814204-0.153491218602448)×R²
    abs(-2.06967564--2.06972358)×7.27278824416699e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27278824416699e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27278824416699e-06×40589641000000     		ar = 2198.18529944218m²