Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2236 / 6524
↖ ↑ ↗
← S 72.342464°
W 81.738281°		 ← 1 482.20 m → S 72.342464°
W 81.694336°		 →
↑
1 481.70 m
↓
↑
1 481.70 m
↓
S 72.355790°
W 81.738281°		 ← 1 481.12 m →
2 195 386 m²		 S 72.355790°
W 81.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27301025390625 y=0.79644775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27301025390625 × 213)
    floor (0.27301025390625 × 8192)
    floor (2236.5)     		tx = 2236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79644775390625 × 213)
    floor (0.79644775390625 × 8192)
    floor (6524.5)     		ty = 6524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2236 / 6524 ti = "13/2236/6524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2236/6524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2236 ÷ 213
    2236 ÷ 8192     		x = 0.27294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6524 ÷ 213
    6524 ÷ 8192     		y = 0.79638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42660213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79638671875 × 2 - 1) × π
    -0.5927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86225267643994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42660213} λ = -1.42660213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86225267643994))-π/2
    2×atan(0.155322344989162)-π/2
    2×0.154091067094597-π/2
    0.308182134189193-1.57079632675     		φ = -1.26261419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42660213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.738281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26261419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.342464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2236 KachelY 6524 -1.42660213 -1.26261419 -81.738281 -72.342464
    Oben rechts KachelX + 1 2237 KachelY 6524 -1.42583514 -1.26261419 -81.694336 -72.342464
    Unten links KachelX 2236 KachelY + 1 6525 -1.42660213 -1.26284676 -81.738281 -72.355790
    Unten rechts KachelX + 1 2237 KachelY + 1 6525 -1.42583514 -1.26284676 -81.694336 -72.355790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26261419--1.26284676) × R
    0.000232569999999876 × 6371000     		dl = 1481.70346999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26261419--1.26284676) × R
    0.000232569999999876 × 6371000     		dr = 1481.70346999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42660213--1.42583514) × cos(-1.26261419) × R
    0.000766990000000023 × 0.303326921188956 × 6371000     		do = 1482.20496506624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42660213--1.42583514) × cos(-1.26284676) × R
    0.000766990000000023 × 0.303105300162517 × 6371000     		du = 1481.12201540762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26261419)-sin(-1.26284676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303326921188956-0.303105300162517)×R²
    abs(-1.42583514--1.42660213)×0.000221621026439689×R²
    0.000766990000000023×0.000221621026439689×6371000²
    0.000766990000000023×0.000221621026439689×40589641000000     		ar = 2195385.94474839m²