Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2236 / 6517
↖ ↑ ↗
← S 72.248917°
W 81.738281°		 ← 1 489.81 m → S 72.248917°
W 81.694336°		 →
↑
1 489.22 m
↓
↑
1 489.22 m
↓
S 72.262310°
W 81.738281°		 ← 1 488.72 m →
2 217 840 m²		 S 72.262310°
W 81.694336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27301025390625 y=0.79559326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27301025390625 × 213)
    floor (0.27301025390625 × 8192)
    floor (2236.5)     		tx = 2236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79559326171875 × 213)
    floor (0.79559326171875 × 8192)
    floor (6517.5)     		ty = 6517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2236 / 6517 ti = "13/2236/6517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2236/6517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2236 ÷ 213
    2236 ÷ 8192     		x = 0.27294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6517 ÷ 213
    6517 ÷ 8192     		y = 0.7955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42660213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.591064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8568837436825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42660213} λ = -1.42660213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8568837436825))-π/2
    2×atan(0.156158502844237)-π/2
    2×0.154907424102373-π/2
    0.309814848204746-1.57079632675     		φ = -1.26098148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42660213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.738281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26098148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.248917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2236 KachelY 6517 -1.42660213 -1.26098148 -81.738281 -72.248917
    Oben rechts KachelX + 1 2237 KachelY 6517 -1.42583514 -1.26098148 -81.694336 -72.248917
    Unten links KachelX 2236 KachelY + 1 6518 -1.42660213 -1.26121523 -81.738281 -72.262310
    Unten rechts KachelX + 1 2237 KachelY + 1 6518 -1.42583514 -1.26121523 -81.694336 -72.262310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26098148--1.26121523) × R
    0.00023374999999981 × 6371000     		dl = 1489.22124999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26098148--1.26121523) × R
    0.00023374999999981 × 6371000     		dr = 1489.22124999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42660213--1.42583514) × cos(-1.26098148) × R
    0.000766990000000023 × 0.304882303602693 × 6371000     		do = 1489.80533079435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42660213--1.42583514) × cos(-1.26121523) × R
    0.000766990000000023 × 0.30465967410453 × 6371000     		du = 1488.71745324542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26098148)-sin(-1.26121523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304882303602693-0.30465967410453)×R²
    abs(-1.42583514--1.42660213)×0.000222629498163207×R²
    0.000766990000000023×0.000222629498163207×6371000²
    0.000766990000000023×0.000222629498163207×40589641000000     		ar = 2217839.72189787m²