Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2235 / 1974
↖ ↑ ↗
← N  6.489983°
E 16.435547°		 ← 9 710.36 m → N  6.489983°
E 16.523438°		 →
↑
9 711.19 m
↓
↑
9 711.19 m
↓
N  6.402649°
E 16.435547°		 ← 9 712.03 m →
94 307 247 m²		 N  6.402649°
E 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5457763671875 y=0.4820556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5457763671875 × 212)
    floor (0.5457763671875 × 4096)
    floor (2235.5)     		tx = 2235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4820556640625 × 212)
    floor (0.4820556640625 × 4096)
    floor (1974.5)     		ty = 1974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2235 / 1974 ti = "12/2235/1974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2235/1974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2235 ÷ 212
    2235 ÷ 4096     		x = 0.545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1974 ÷ 212
    1974 ÷ 4096     		y = 0.48193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545654296875 × 2 - 1) × π
    0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48193359375 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.113514578300293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28685441} λ = 0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.113514578300293))-π/2
    2×atan(1.12020821950516)-π/2
    2×0.842033952173165-π/2
    1.68406790434633-1.57079632675     		φ = 0.11327158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11327158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.489983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2235 KachelY 1974 0.28685441 0.11327158 16.435547 6.489983
    Oben rechts KachelX + 1 2236 KachelY 1974 0.28838839 0.11327158 16.523438 6.489983
    Unten links KachelX 2235 KachelY + 1 1975 0.28685441 0.11174730 16.435547 6.402649
    Unten rechts KachelX + 1 2236 KachelY + 1 1975 0.28838839 0.11174730 16.523438 6.402649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11327158-0.11174730) × R
    0.00152428 × 6371000     		dl = 9711.18788000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11327158-0.11174730) × R
    0.00152428 × 6371000     		dr = 9711.18788000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28685441-0.28838839) × cos(0.11327158) × R
    0.00153397999999999 × 0.993591630835469 × 6371000     		do = 9710.35767415529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28685441-0.28838839) × cos(0.11174730) × R
    0.00153397999999999 × 0.993762765127179 × 6371000     		du = 9712.03016729155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11327158)-sin(0.11174730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993591630835469-0.993762765127179)×R²
    abs(0.28838839-0.28685441)×0.000171134291709563×R²
    0.00153397999999999×0.000171134291709563×6371000²
    0.00153397999999999×0.000171134291709563×40589641000000     		ar = 94307246.9629472m²