Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2235 / 1343
↖ ↑ ↗
← N 76.195485°
W 81.782226°		 ← 1 165.97 m → N 76.195485°
W 81.738281°		 →
↑
1 166.40 m
↓
↑
1 166.40 m
↓
N 76.184995°
W 81.782226°		 ← 1 166.83 m →
1 360 493 m²		 N 76.184995°
W 81.738281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27288818359375 y=0.16400146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27288818359375 × 213)
    floor (0.27288818359375 × 8192)
    floor (2235.5)     		tx = 2235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16400146484375 × 213)
    floor (0.16400146484375 × 8192)
    floor (1343.5)     		ty = 1343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2235 / 1343 ti = "13/2235/1343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2235/1343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2235 ÷ 213
    2235 ÷ 8192     		x = 0.2728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1343 ÷ 213
    1343 ÷ 8192     		y = 0.1639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42736912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1639404296875 × 2 - 1) × π
    0.672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11152455446423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42736912} λ = -1.42736912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11152455446423))-π/2
    2×atan(8.26082576812699)-π/2
    2×1.45032920896355-π/2
    2.90065841792711-1.57079632675     		φ = 1.32986209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42736912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.782226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32986209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.195485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2235 KachelY 1343 -1.42736912 1.32986209 -81.782226 76.195485
    Oben rechts KachelX + 1 2236 KachelY 1343 -1.42660213 1.32986209 -81.738281 76.195485
    Unten links KachelX 2235 KachelY + 1 1344 -1.42736912 1.32967901 -81.782226 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 2236 KachelY + 1 1344 -1.42660213 1.32967901 -81.738281 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32986209-1.32967901) × R
    0.000183080000000002 × 6371000     		dl = 1166.40268000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32986209-1.32967901) × R
    0.000183080000000002 × 6371000     		dr = 1166.40268000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42736912--1.42660213) × cos(1.32986209) × R
    0.000766990000000023 × 0.23860998223829 × 6371000     		do = 1165.96607713446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42736912--1.42660213) × cos(1.32967901) × R
    0.000766990000000023 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 1166.83483613502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32986209)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23860998223829-0.238787770060559)×R²
    abs(-1.42660213--1.42736912)×0.000177787822269349×R²
    0.000766990000000023×0.000177787822269349×6371000²
    0.000766990000000023×0.000177787822269349×40589641000000     		ar = 1360492.62237346m²