Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22342 / 47301
↖ ↑ ↗
← S 62.116730°
W 57.271728°		 ← 285.65 m → S 62.116730°
W 57.266236°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 62.119299°
W 57.271728°		 ← 285.62 m →
81 599 m²		 S 62.119299°
W 57.266236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340919494628906 y=0.721763610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340919494628906 × 216)
    floor (0.340919494628906 × 65536)
    floor (22342.5)     		tx = 22342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721763610839844 × 216)
    floor (0.721763610839844 × 65536)
    floor (47301.5)     		ty = 47301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22342 / 47301 ti = "16/22342/47301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22342/47301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22342 ÷ 216
    22342 ÷ 65536     		x = 0.340911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47301 ÷ 216
    47301 ÷ 65536     		y = 0.721755981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.31817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99958023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721755981445312 × 2 - 1) × π
    -0.443511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39333392435655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99958023} λ = -0.99958023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39333392435655))-π/2
    2×atan(0.248246289112336)-π/2
    2×0.243327431842756-π/2
    0.486654863685511-1.57079632675     		φ = -1.08414146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99958023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.271728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08414146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.116730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22342 KachelY 47301 -0.99958023 -1.08414146 -57.271728 -62.116730
    Oben rechts KachelX + 1 22343 KachelY 47301 -0.99948436 -1.08414146 -57.266236 -62.116730
    Unten links KachelX 22342 KachelY + 1 47302 -0.99958023 -1.08418630 -57.271728 -62.119299
    Unten rechts KachelX + 1 22343 KachelY + 1 47302 -0.99948436 -1.08418630 -57.266236 -62.119299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08414146--1.08418630) × R
    4.4840000000157e-05 × 6371000     		dl = 285.675640001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08414146--1.08418630) × R
    4.4840000000157e-05 × 6371000     		dr = 285.675640001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99958023--0.99948436) × cos(-1.08414146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46767173960275 × 6371000     		do = 285.648178923978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99958023--0.99948436) × cos(-1.08418630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467632104956822 × 6371000     		du = 285.623970566977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08414146)-sin(-1.08418630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46767173960275-0.467632104956822)×R²
    abs(-0.99948436--0.99958023)×3.96346459279329e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96346459279329e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96346459279329e-05×40589641000000     		ar = 81599.2684741221m²