Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22341 / 47300
↖ ↑ ↗
← S 62.114161°
W 57.277221°		 ← 285.67 m → S 62.114161°
W 57.271728°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
S 62.116730°
W 57.277221°		 ← 285.65 m →
81 606 m²		 S 62.116730°
W 57.271728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340904235839844 y=0.721748352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340904235839844 × 216)
    floor (0.340904235839844 × 65536)
    floor (22341.5)     		tx = 22341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721748352050781 × 216)
    floor (0.721748352050781 × 65536)
    floor (47300.5)     		ty = 47300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22341 / 47300 ti = "16/22341/47300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22341/47300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22341 ÷ 216
    22341 ÷ 65536     		x = 0.340896606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47300 ÷ 216
    47300 ÷ 65536     		y = 0.72174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340896606445312 × 2 - 1) × π
    -0.318206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.99967610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.4434814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39323805055731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99967610} λ = -0.99967610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39323805055731))-π/2
    2×atan(0.24827009056817)-π/2
    2×0.243349851525796-π/2
    0.486699703051592-1.57079632675     		φ = -1.08409662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99967610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.277221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08409662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.114161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22341 KachelY 47300 -0.99967610 -1.08409662 -57.277221 -62.114161
    Oben rechts KachelX + 1 22342 KachelY 47300 -0.99958023 -1.08409662 -57.271728 -62.114161
    Unten links KachelX 22341 KachelY + 1 47301 -0.99967610 -1.08414146 -57.277221 -62.116730
    Unten rechts KachelX + 1 22342 KachelY + 1 47301 -0.99958023 -1.08414146 -57.271728 -62.116730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08409662--1.08414146) × R
    4.48399999999349e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08409662--1.08414146) × R
    4.48399999999349e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99967610--0.99958023) × cos(-1.08409662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467711373308364 × 6371000     		do = 285.672386706647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99967610--0.99958023) × cos(-1.08414146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46767173960275 × 6371000     		du = 285.648178923978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08409662)-sin(-1.08414146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467711373308364-0.46767173960275)×R²
    abs(-0.99958023--0.99967610)×3.96337056148832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96337056148832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96337056148832e-05×40589641000000     		ar = 81606.1841293328m²