Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22340 / 47324
↖ ↑ ↗
← S 62.175760°
W 57.282715°		 ← 285.12 m → S 62.175760°
W 57.277221°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
S 62.178324°
W 57.282715°		 ← 285.10 m →
81 285 m²		 S 62.178324°
W 57.277221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340888977050781 y=0.722114562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340888977050781 × 216)
    floor (0.340888977050781 × 65536)
    floor (22340.5)     		tx = 22340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722114562988281 × 216)
    floor (0.722114562988281 × 65536)
    floor (47324.5)     		ty = 47324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22340 / 47324 ti = "16/22340/47324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22340/47324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22340 ÷ 216
    22340 ÷ 65536     		x = 0.34088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47324 ÷ 216
    47324 ÷ 65536     		y = 0.72210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.3182373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.99977198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.4442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39553902173907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99977198} λ = -0.99977198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39553902173907))-π/2
    2×atan(0.247699484969753)-π/2
    2×0.242812303251806-π/2
    0.485624606503613-1.57079632675     		φ = -1.08517172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99977198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08517172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.175760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22340 KachelY 47324 -0.99977198 -1.08517172 -57.282715 -62.175760
    Oben rechts KachelX + 1 22341 KachelY 47324 -0.99967610 -1.08517172 -57.277221 -62.175760
    Unten links KachelX 22340 KachelY + 1 47325 -0.99977198 -1.08521647 -57.282715 -62.178324
    Unten rechts KachelX + 1 22341 KachelY + 1 47325 -0.99967610 -1.08521647 -57.277221 -62.178324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08517172--1.08521647) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08517172--1.08521647) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99977198--0.99967610) × cos(-1.08517172) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.46676084245545 × 6371000     		do = 285.121551420102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99977198--0.99967610) × cos(-1.08521647) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.466721265822915 × 6371000     		du = 285.097375975544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08517172)-sin(-1.08521647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46676084245545-0.466721265822915)×R²
    abs(-0.99967610--0.99977198)×3.95766325349545e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.95766325349545e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.95766325349545e-05×40589641000000     		ar = 81285.349609839m²