Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22337 / 47302
↖ ↑ ↗
← S 62.119299°
W 57.299194°		 ← 285.62 m → S 62.119299°
W 57.293701°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
S 62.121868°
W 57.299194°		 ← 285.60 m →
81 574 m²		 S 62.121868°
W 57.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340843200683594 y=0.721778869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340843200683594 × 216)
    floor (0.340843200683594 × 65536)
    floor (22337.5)     		tx = 22337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721778869628906 × 216)
    floor (0.721778869628906 × 65536)
    floor (47302.5)     		ty = 47302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22337 / 47302 ti = "16/22337/47302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22337/47302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22337 ÷ 216
    22337 ÷ 65536     		x = 0.340835571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47302 ÷ 216
    47302 ÷ 65536     		y = 0.721771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.318328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00005960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.44354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39342979815579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00005960} λ = -1.00005960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39342979815579))-π/2
    2×atan(0.248222489938328)-π/2
    2×0.243305014059548-π/2
    0.486610028119096-1.57079632675     		φ = -1.08418630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00005960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.299194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08418630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.119299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22337 KachelY 47302 -1.00005960 -1.08418630 -57.299194 -62.119299
    Oben rechts KachelX + 1 22338 KachelY 47302 -0.99996373 -1.08418630 -57.293701 -62.119299
    Unten links KachelX 22337 KachelY + 1 47303 -1.00005960 -1.08423113 -57.299194 -62.121868
    Unten rechts KachelX + 1 22338 KachelY + 1 47303 -0.99996373 -1.08423113 -57.293701 -62.121868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08418630--1.08423113) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08418630--1.08423113) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00005960--0.99996373) × cos(-1.08418630) × R
    9.58699999998869e-05 × 0.467632104956822 × 6371000     		do = 285.623970566646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00005960--0.99996373) × cos(-1.08423113) × R
    9.58699999998869e-05 × 0.467592478210102 × 6371000     		du = 285.599767034385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08418630)-sin(-1.08423113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467632104956822-0.467592478210102)×R²
    abs(-0.99996373--1.00005960)×3.96267467192013e-05×R²
    9.58699999998869e-05×3.96267467192013e-05×6371000²
    9.58699999998869e-05×3.96267467192013e-05×40589641000000     		ar = 81574.1570927176m²