Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22334 / 12094
↖ ↑ ↗
← N 81.175334°
W118.657837°		 ← 46.86 m → N 81.175334°
W118.655090°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
N 81.174912°
W118.657837°		 ← 46.86 m →
2 197 m²		 N 81.174912°
W118.655090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170398712158203 y=0.0922737121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170398712158203 × 217)
    floor (0.170398712158203 × 131072)
    floor (22334.5)     		tx = 22334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0922737121582031 × 217)
    floor (0.0922737121582031 × 131072)
    floor (12094.5)     		ty = 12094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22334 / 12094 ti = "17/22334/12094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22334/12094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22334 ÷ 217
    22334 ÷ 131072     		x = 0.170394897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12094 ÷ 217
    12094 ÷ 131072     		y = 0.0922698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170394897460938 × 2 - 1) × π
    -0.659210205078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07096994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0922698974609375 × 2 - 1) × π
    0.815460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56184378949504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07096994} λ = -2.07096994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56184378949504))-π/2
    2×atan(12.9596902411809)-π/2
    2×1.49378658612787-π/2
    2.98757317225573-1.57079632675     		φ = 1.41677685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07096994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.657837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41677685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.175334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22334 KachelY 12094 -2.07096994 1.41677685 -118.657837 81.175334
    Oben rechts KachelX + 1 22335 KachelY 12094 -2.07092200 1.41677685 -118.655090 81.175334
    Unten links KachelX 22334 KachelY + 1 12095 -2.07096994 1.41676949 -118.657837 81.174912
    Unten rechts KachelX + 1 22335 KachelY + 1 12095 -2.07092200 1.41676949 -118.655090 81.174912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41677685-1.41676949) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dl = 46.8905599993679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41677685-1.41676949) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dr = 46.8905599993679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07096994--2.07092200) × cos(1.41677685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153411257001047 × 6371000     		do = 46.8557466938442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07096994--2.07092200) × cos(1.41676949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15341852987237 × 6371000     		du = 46.8579680159498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41677685)-sin(1.41676949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153411257001047-0.15341852987237)×R²
    abs(-2.07092200--2.07096994)×7.27287132268328e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27287132268328e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27287132268328e-06×40589641000000     		ar = 2197.144281258m²