Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22333 / 47281
↖ ↑ ↗
← S 62.065307°
W 57.321167°		 ← 286.16 m → S 62.065307°
W 57.315674°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
S 62.067880°
W 57.321167°		 ← 286.14 m →
81 892 m²		 S 62.067880°
W 57.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340782165527344 y=0.721458435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340782165527344 × 216)
    floor (0.340782165527344 × 65536)
    floor (22333.5)     		tx = 22333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721458435058594 × 216)
    floor (0.721458435058594 × 65536)
    floor (47281.5)     		ty = 47281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22333 / 47281 ti = "16/22333/47281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22333/47281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22333 ÷ 216
    22333 ÷ 65536     		x = 0.340774536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47281 ÷ 216
    47281 ÷ 65536     		y = 0.721450805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340774536132812 × 2 - 1) × π
    -0.318450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00044310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721450805664062 × 2 - 1) × π
    -0.442901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39141644837175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00044310} λ = -1.00044310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39141644837175))-π/2
    2×atan(0.248722752067177)-π/2
    2×0.243776186625813-π/2
    0.487552373251626-1.57079632675     		φ = -1.08324395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00044310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.321167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08324395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.065307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22333 KachelY 47281 -1.00044310 -1.08324395 -57.321167 -62.065307
    Oben rechts KachelX + 1 22334 KachelY 47281 -1.00034722 -1.08324395 -57.315674 -62.065307
    Unten links KachelX 22333 KachelY + 1 47282 -1.00044310 -1.08328887 -57.321167 -62.067880
    Unten rechts KachelX + 1 22334 KachelY + 1 47282 -1.00034722 -1.08328887 -57.315674 -62.067880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08324395--1.08328887) × R
    4.49200000001149e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08324395--1.08328887) × R
    4.49200000001149e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00044310--1.00034722) × cos(-1.08324395) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468464862222078 × 6371000     		do = 286.162454416165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00044310--1.00034722) × cos(-1.08328887) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468425175732206 × 6371000     		du = 286.13821186509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08324395)-sin(-1.08328887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468464862222078-0.468425175732206)×R²
    abs(-1.00034722--1.00044310)×3.96864898724036e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96864898724036e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96864898724036e-05×40589641000000     		ar = 81892.0246718929m²