Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22333 / 47273
↖ ↑ ↗
← S 62.044713°
W 57.321167°		 ← 286.36 m → S 62.044713°
W 57.315674°		 →
↑
286.38 m
↓
↑
286.38 m
↓
S 62.047288°
W 57.321167°		 ← 286.33 m →
82 002 m²		 S 62.047288°
W 57.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340782165527344 y=0.721336364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340782165527344 × 216)
    floor (0.340782165527344 × 65536)
    floor (22333.5)     		tx = 22333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721336364746094 × 216)
    floor (0.721336364746094 × 65536)
    floor (47273.5)     		ty = 47273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22333 / 47273 ti = "16/22333/47273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22333/47273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22333 ÷ 216
    22333 ÷ 65536     		x = 0.340774536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47273 ÷ 216
    47273 ÷ 65536     		y = 0.721328735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340774536132812 × 2 - 1) × π
    -0.318450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00044310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721328735351562 × 2 - 1) × π
    -0.442657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39064945797783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00044310} λ = -1.00044310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39064945797783))-π/2
    2×atan(0.248913593206067)-π/2
    2×0.243955901527888-π/2
    0.487911803055777-1.57079632675     		φ = -1.08288452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00044310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.321167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08288452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.044713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22333 KachelY 47273 -1.00044310 -1.08288452 -57.321167 -62.044713
    Oben rechts KachelX + 1 22334 KachelY 47273 -1.00034722 -1.08288452 -57.315674 -62.044713
    Unten links KachelX 22333 KachelY + 1 47274 -1.00044310 -1.08292947 -57.321167 -62.047288
    Unten rechts KachelX + 1 22334 KachelY + 1 47274 -1.00034722 -1.08292947 -57.315674 -62.047288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08288452--1.08292947) × R
    4.49500000001546e-05 × 6371000     		dl = 286.376450000985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08288452--1.08292947) × R
    4.49500000001546e-05 × 6371000     		dr = 286.376450000985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00044310--1.00034722) × cos(-1.08288452) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468782381936519 × 6371000     		do = 286.35641180366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00044310--1.00034722) × cos(-1.08292947) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468742676512492 × 6371000     		du = 286.332157686629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08288452)-sin(-1.08292947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468782381936519-0.468742676512492)×R²
    abs(-1.00034722--1.00044310)×3.97054240279249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.97054240279249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.97054240279249e-05×40589641000000     		ar = 82002.259757158m²