Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22331 / 47279
↖ ↑ ↗
← S 62.060160°
W 57.332153°		 ← 286.18 m → S 62.060160°
W 57.326660°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
S 62.062733°
W 57.332153°		 ← 286.16 m →
81 897 m²		 S 62.062733°
W 57.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340751647949219 y=0.721427917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340751647949219 × 216)
    floor (0.340751647949219 × 65536)
    floor (22331.5)     		tx = 22331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721427917480469 × 216)
    floor (0.721427917480469 × 65536)
    floor (47279.5)     		ty = 47279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22331 / 47279 ti = "16/22331/47279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22331/47279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22331 ÷ 216
    22331 ÷ 65536     		x = 0.340744018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47279 ÷ 216
    47279 ÷ 65536     		y = 0.721420288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340744018554688 × 2 - 1) × π
    -0.318511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00063484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.442840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39122470077327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00063484} λ = -1.00063484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39122470077327))-π/2
    2×atan(0.248770448630278)-π/2
    2×0.243821103936118-π/2
    0.487642207872236-1.57079632675     		φ = -1.08315412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00063484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.332153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08315412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.060160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22331 KachelY 47279 -1.00063484 -1.08315412 -57.332153 -62.060160
    Oben rechts KachelX + 1 22332 KachelY 47279 -1.00053897 -1.08315412 -57.326660 -62.060160
    Unten links KachelX 22331 KachelY + 1 47280 -1.00063484 -1.08319904 -57.332153 -62.062733
    Unten rechts KachelX + 1 22332 KachelY + 1 47280 -1.00053897 -1.08319904 -57.326660 -62.062733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08315412--1.08319904) × R
    4.49199999998928e-05 × 6371000     		dl = 286.185319999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08315412--1.08319904) × R
    4.49199999998928e-05 × 6371000     		dr = 286.185319999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00063484--1.00053897) × cos(-1.08315412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468544223531528 × 6371000     		do = 286.181081437197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00063484--1.00053897) × cos(-1.08319904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468504538932068 × 6371000     		du = 286.15684256919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08315412)-sin(-1.08319904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468544223531528-0.468504538932068)×R²
    abs(-1.00053897--1.00063484)×3.96845994597994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96845994597994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96845994597994e-05×40589641000000     		ar = 81897.3559787507m²