Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22329 / 47277
↖ ↑ ↗
← S 62.055012°
W 57.343140°		 ← 286.23 m → S 62.055012°
W 57.337647°		 →
↑
286.25 m
↓
↑
286.25 m
↓
S 62.057586°
W 57.343140°		 ← 286.21 m →
81 929 m²		 S 62.057586°
W 57.337647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340721130371094 y=0.721397399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340721130371094 × 216)
    floor (0.340721130371094 × 65536)
    floor (22329.5)     		tx = 22329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721397399902344 × 216)
    floor (0.721397399902344 × 65536)
    floor (47277.5)     		ty = 47277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22329 / 47277 ti = "16/22329/47277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22329/47277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22329 ÷ 216
    22329 ÷ 65536     		x = 0.340713500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47277 ÷ 216
    47277 ÷ 65536     		y = 0.721389770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340713500976562 × 2 - 1) × π
    -0.318572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00082659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721389770507812 × 2 - 1) × π
    -0.442779541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39103295317479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00082659} λ = -1.00082659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39103295317479))-π/2
    2×atan(0.248818154339957)-π/2
    2×0.243866028855948-π/2
    0.487732057711896-1.57079632675     		φ = -1.08306427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00082659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.343140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08306427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.055012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22329 KachelY 47277 -1.00082659 -1.08306427 -57.343140 -62.055012
    Oben rechts KachelX + 1 22330 KachelY 47277 -1.00073072 -1.08306427 -57.337647 -62.055012
    Unten links KachelX 22329 KachelY + 1 47278 -1.00082659 -1.08310920 -57.343140 -62.057586
    Unten rechts KachelX + 1 22330 KachelY + 1 47278 -1.00073072 -1.08310920 -57.337647 -62.057586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08306427--1.08310920) × R
    4.49300000000541e-05 × 6371000     		dl = 286.249030000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08306427--1.08310920) × R
    4.49300000000541e-05 × 6371000     		dr = 286.249030000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00082659--1.00073072) × cos(-1.08306427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468623598728052 × 6371000     		do = 286.229562836476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00082659--1.00073072) × cos(-1.08310920) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468583907185556 × 6371000     		du = 286.205319727747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08306427)-sin(-1.08310920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468623598728052-0.468583907185556)×R²
    abs(-1.00073072--1.00082659)×3.9691542496223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9691542496223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9691542496223e-05×40589641000000     		ar = 81929.4649499745m²