Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22328 / 47800
↖ ↑ ↗
← S 63.371832°
W 57.348633°		 ← 273.75 m → S 63.371832°
W 57.343140°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 63.374294°
W 57.348633°		 ← 273.73 m →
74 923 m²		 S 63.374294°
W 57.343140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340705871582031 y=0.729377746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340705871582031 × 216)
    floor (0.340705871582031 × 65536)
    floor (22328.5)     		tx = 22328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729377746582031 × 216)
    floor (0.729377746582031 × 65536)
    floor (47800.5)     		ty = 47800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22328 / 47800 ti = "16/22328/47800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22328/47800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22328 ÷ 216
    22328 ÷ 65536     		x = 0.3406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47800 ÷ 216
    47800 ÷ 65536     		y = 0.7293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00092246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44117495017737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00092246} λ = -1.00092246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44117495017737))-π/2
    2×atan(0.236649543846327)-π/2
    2×0.232374600368121-π/2
    0.464749200736243-1.57079632675     		φ = -1.10604713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00092246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10604713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.371832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22328 KachelY 47800 -1.00092246 -1.10604713 -57.348633 -63.371832
    Oben rechts KachelX + 1 22329 KachelY 47800 -1.00082659 -1.10604713 -57.343140 -63.371832
    Unten links KachelX 22328 KachelY + 1 47801 -1.00092246 -1.10609009 -57.348633 -63.374294
    Unten rechts KachelX + 1 22329 KachelY + 1 47801 -1.00082659 -1.10609009 -57.343140 -63.374294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10604713--1.10609009) × R
    4.29599999998143e-05 × 6371000     		dl = 273.698159998817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10604713--1.10609009) × R
    4.29599999998143e-05 × 6371000     		dr = 273.698159998817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00092246--1.00082659) × cos(-1.10604713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448198614031139 × 6371000     		do = 273.754231981164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00092246--1.00082659) × cos(-1.10609009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448160210212777 × 6371000     		du = 273.730775398587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10604713)-sin(-1.10609009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448198614031139-0.448160210212777)×R²
    abs(-1.00082659--1.00092246)×3.84038183618429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84038183618429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84038183618429e-05×40589641000000     		ar = 74922.8195849027m²