Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22324 / 47315
↖ ↑ ↗
← S 62.152675°
W 57.370606°		 ← 285.31 m → S 62.152675°
W 57.365113°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
S 62.155241°
W 57.370606°		 ← 285.29 m →
81 393 m²		 S 62.155241°
W 57.365113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340644836425781 y=0.721977233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340644836425781 × 216)
    floor (0.340644836425781 × 65536)
    floor (22324.5)     		tx = 22324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721977233886719 × 216)
    floor (0.721977233886719 × 65536)
    floor (47315.5)     		ty = 47315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22324 / 47315 ti = "16/22324/47315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22324/47315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22324 ÷ 216
    22324 ÷ 65536     		x = 0.34063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47315 ÷ 216
    47315 ÷ 65536     		y = 0.721969604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.3187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00130596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721969604492188 × 2 - 1) × π
    -0.443939208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39467615754591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00130596} λ = -1.00130596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39467615754591))-π/2
    2×atan(0.247913308222945)-π/2
    2×0.243013755709814-π/2
    0.486027511419628-1.57079632675     		φ = -1.08476882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00130596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08476882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.152675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22324 KachelY 47315 -1.00130596 -1.08476882 -57.370606 -62.152675
    Oben rechts KachelX + 1 22325 KachelY 47315 -1.00121009 -1.08476882 -57.365113 -62.152675
    Unten links KachelX 22324 KachelY + 1 47316 -1.00130596 -1.08481360 -57.370606 -62.155241
    Unten rechts KachelX + 1 22325 KachelY + 1 47316 -1.00121009 -1.08481360 -57.365113 -62.155241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08476882--1.08481360) × R
    4.47799999998555e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08476882--1.08481360) × R
    4.47799999998555e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00130596--1.00121009) × cos(-1.08476882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467117122705778 × 6371000     		do = 285.309425706272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00130596--1.00121009) × cos(-1.08481360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4670775279652 × 6371000     		du = 285.285241722971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08476882)-sin(-1.08481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467117122705778-0.4670775279652)×R²
    abs(-1.00121009--1.00130596)×3.95947405774089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95947405774089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95947405774089e-05×40589641000000     		ar = 81393.4406535417m²