Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22321 / 47316
↖ ↑ ↗
← S 62.155241°
W 57.387085°		 ← 285.29 m → S 62.155241°
W 57.381592°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
S 62.157807°
W 57.387085°		 ← 285.26 m →
81 387 m²		 S 62.157807°
W 57.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340599060058594 y=0.721992492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340599060058594 × 216)
    floor (0.340599060058594 × 65536)
    floor (22321.5)     		tx = 22321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721992492675781 × 216)
    floor (0.721992492675781 × 65536)
    floor (47316.5)     		ty = 47316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22321 / 47316 ti = "16/22321/47316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22321/47316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22321 ÷ 216
    22321 ÷ 65536     		x = 0.340591430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47316 ÷ 216
    47316 ÷ 65536     		y = 0.72198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340591430664062 × 2 - 1) × π
    -0.318817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00159358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39477203134515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00159358} λ = -1.00159358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39477203134515))-π/2
    2×atan(0.24788954097155)-π/2
    2×0.242991364512081-π/2
    0.485982729024162-1.57079632675     		φ = -1.08481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00159358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.155241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22321 KachelY 47316 -1.00159358 -1.08481360 -57.387085 -62.155241
    Oben rechts KachelX + 1 22322 KachelY 47316 -1.00149771 -1.08481360 -57.381592 -62.155241
    Unten links KachelX 22321 KachelY + 1 47317 -1.00159358 -1.08485838 -57.387085 -62.157807
    Unten rechts KachelX + 1 22322 KachelY + 1 47317 -1.00149771 -1.08485838 -57.381592 -62.157807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08481360--1.08485838) × R
    4.47800000000775e-05 × 6371000     		dl = 285.293380000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08481360--1.08485838) × R
    4.47800000000775e-05 × 6371000     		dr = 285.293380000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00159358--1.00149771) × cos(-1.08481360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4670775279652 × 6371000     		do = 285.285241722971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00159358--1.00149771) × cos(-1.08485838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467037932288016 × 6371000     		du = 285.261057167602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08481360)-sin(-1.08485838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4670775279652-0.467037932288016)×R²
    abs(-1.00149771--1.00159358)×3.95956771840345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95956771840345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95956771840345e-05×40589641000000     		ar = 81386.5410424171m²