Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2232 / 1967
N  7.100893°
E 16.171875°
← 9 698.09 m → N  7.100893°
E 16.259766°

9 698.96 m

9 698.96 m
N  7.013668°
E 16.171875°
← 9 699.92 m →
94 070 237 m²
N  7.013668°
E 16.259766°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5450439453125 y=0.4803466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5450439453125 × 212)
    floor (0.5450439453125 × 4096)
    floor (2232.5)
    tx = 2232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4803466796875 × 212)
    floor (0.4803466796875 × 4096)
    floor (1967.5)
    ty = 1967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2232 / 1967 ti = "12/2232/1967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2232/1967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2232 ÷ 212
    2232 ÷ 4096
    x = 0.544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1967 ÷ 212
    1967 ÷ 4096
    y = 0.480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.544921875 × 2 - 1) × π
    0.08984375 × 3.1415926535
    Λ = 0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.480224609375 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535
    Φ = 0.124252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28225246} λ = 0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124252443815186))-π/2
    2×atan(1.13230167747802)-π/2
    2×0.847365141844791-π/2
    1.69473028368958-1.57079632675
    φ = 0.12393396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12393396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.100893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2232 KachelY 1967 0.28225246 0.12393396 16.171875 7.100893
    Oben rechts KachelX + 1 2233 KachelY 1967 0.28378645 0.12393396 16.259766 7.100893
    Unten links KachelX 2232 KachelY + 1 1968 0.28225246 0.12241160 16.171875 7.013668
    Unten rechts KachelX + 1 2233 KachelY + 1 1968 0.28378645 0.12241160 16.259766 7.013668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.12393396-0.12241160) × R
    0.00152236 × 6371000
    dl = 9698.95556m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.12393396-0.12241160) × R
    0.00152236 × 6371000
    dr = 9698.95556m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.28225246-0.28378645) × cos(0.12393396) × R
    0.00153399000000004 × 0.992330011669792 × 6371000
    do = 9698.09110832543m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.28225246-0.28378645) × cos(0.12241160) × R
    0.00153399000000004 × 0.992517051180543 × 6371000
    du = 9699.91905487021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.12393396)-sin(0.12241160))×
    abs(λ12)×abs(0.992330011669792-0.992517051180543)×
    abs(0.28378645-0.28225246)×0.00018703951075083×
    0.00153399000000004×0.00018703951075083×6371000²
    0.00153399000000004×0.00018703951075083×40589641000000
    ar = 94070237.4305737m²