Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2232 / 1957
↖ ↑ ↗
← N  7.972198°
E 16.171875°		 ← 9 678.60 m → N  7.972198°
E 16.259766°		 →
↑
9 679.59 m
↓
↑
9 679.59 m
↓
N  7.885147°
E 16.171875°		 ← 9 680.65 m →
93 694 774 m²		 N  7.885147°
E 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5450439453125 y=0.4779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5450439453125 × 212)
    floor (0.5450439453125 × 4096)
    floor (2232.5)     		tx = 2232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4779052734375 × 212)
    floor (0.4779052734375 × 4096)
    floor (1957.5)     		ty = 1957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2232 / 1957 ti = "12/2232/1957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2232/1957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2232 ÷ 212
    2232 ÷ 4096     		x = 0.544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1957 ÷ 212
    1957 ÷ 4096     		y = 0.477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544921875 × 2 - 1) × π
    0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    0.04443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.139592251693604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28225246} λ = 0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139592251693604))-π/2
    2×atan(1.14980487227236)-π/2
    2×0.854968712763481-π/2
    1.70993742552696-1.57079632675     		φ = 0.13914110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13914110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.972198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2232 KachelY 1957 0.28225246 0.13914110 16.171875 7.972198
    Oben rechts KachelX + 1 2233 KachelY 1957 0.28378645 0.13914110 16.259766 7.972198
    Unten links KachelX 2232 KachelY + 1 1958 0.28225246 0.13762178 16.171875 7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 2233 KachelY + 1 1958 0.28378645 0.13762178 16.259766 7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13914110-0.13762178) × R
    0.00151931999999999 × 6371000     		dl = 9679.58771999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13914110-0.13762178) × R
    0.00151931999999999 × 6371000     		dr = 9679.58771999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28225246-0.28378645) × cos(0.13914110) × R
    0.00153399000000004 × 0.990335484533361 × 6371000     		do = 9678.59849431631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28225246-0.28378645) × cos(0.13762178) × R
    0.00153399000000004 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 9680.64668423841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13914110)-sin(0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990335484533361-0.990545059830871)×R²
    abs(0.28378645-0.28225246)×0.000209575297509423×R²
    0.00153399000000004×0.000209575297509423×6371000²
    0.00153399000000004×0.000209575297509423×40589641000000     		ar = 93694773.9726347m²