Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22316 / 47820
↖ ↑ ↗
← S 63.421031°
W 57.414551°		 ← 273.29 m → S 63.421031°
W 57.409058°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
S 63.423488°
W 57.414551°		 ← 273.26 m →
74 673 m²		 S 63.423488°
W 57.409058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340522766113281 y=0.729682922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340522766113281 × 216)
    floor (0.340522766113281 × 65536)
    floor (22316.5)     		tx = 22316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729682922363281 × 216)
    floor (0.729682922363281 × 65536)
    floor (47820.5)     		ty = 47820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22316 / 47820 ti = "16/22316/47820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22316/47820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22316 ÷ 216
    22316 ÷ 65536     		x = 0.34051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47820 ÷ 216
    47820 ÷ 65536     		y = 0.72967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00207295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.4593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44309242616217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00207295} λ = -1.00207295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44309242616217))-π/2
    2×atan(0.23619620879762)-π/2
    2×0.231945263445839-π/2
    0.463890526891679-1.57079632675     		φ = -1.10690580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00207295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10690580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.421031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22316 KachelY 47820 -1.00207295 -1.10690580 -57.414551 -63.421031
    Oben rechts KachelX + 1 22317 KachelY 47820 -1.00197708 -1.10690580 -57.409058 -63.421031
    Unten links KachelX 22316 KachelY + 1 47821 -1.00207295 -1.10694869 -57.414551 -63.423488
    Unten rechts KachelX + 1 22317 KachelY + 1 47821 -1.00197708 -1.10694869 -57.409058 -63.423488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10690580--1.10694869) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10690580--1.10694869) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00207295--1.00197708) × cos(-1.10690580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447430854583208 × 6371000     		do = 273.285293900066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00207295--1.00197708) × cos(-1.10694869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447392496849997 × 6371000     		du = 273.261865465736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10690580)-sin(-1.10694869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447430854583208-0.447392496849997)×R²
    abs(-1.00197708--1.00207295)×3.83577332105922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83577332105922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83577332105922e-05×40589641000000     		ar = 74672.6041287323m²