Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22315 / 47851
↖ ↑ ↗
← S 63.497122°
W 57.420044°		 ← 272.56 m → S 63.497122°
W 57.414551°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
S 63.499573°
W 57.420044°		 ← 272.54 m →
74 283 m²		 S 63.499573°
W 57.414551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340507507324219 y=0.730155944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340507507324219 × 216)
    floor (0.340507507324219 × 65536)
    floor (22315.5)     		tx = 22315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730155944824219 × 216)
    floor (0.730155944824219 × 65536)
    floor (47851.5)     		ty = 47851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22315 / 47851 ti = "16/22315/47851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22315/47851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22315 ÷ 216
    22315 ÷ 65536     		x = 0.340499877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47851 ÷ 216
    47851 ÷ 65536     		y = 0.730148315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340499877929688 × 2 - 1) × π
    -0.319000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00216882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730148315429688 × 2 - 1) × π
    -0.460296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44606451393861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00216882} λ = -1.00216882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44606451393861))-π/2
    2×atan(0.235495255096552)-π/2
    2×0.231281244624114-π/2
    0.462562489248228-1.57079632675     		φ = -1.10823384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00216882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.420044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10823384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.497122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22315 KachelY 47851 -1.00216882 -1.10823384 -57.420044 -63.497122
    Oben rechts KachelX + 1 22316 KachelY 47851 -1.00207295 -1.10823384 -57.414551 -63.497122
    Unten links KachelX 22315 KachelY + 1 47852 -1.00216882 -1.10827662 -57.420044 -63.499573
    Unten rechts KachelX + 1 22316 KachelY + 1 47852 -1.00207295 -1.10827662 -57.414551 -63.499573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10823384--1.10827662) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10823384--1.10827662) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00216882--1.00207295) × cos(-1.10823384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446242769589118 × 6371000     		do = 272.559626115955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00216882--1.00207295) × cos(-1.10827662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446204484847751 × 6371000     		du = 272.536242264151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10823384)-sin(-1.10827662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446242769589118-0.446204484847751)×R²
    abs(-1.00207295--1.00216882)×3.82847413669674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82847413669674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82847413669674e-05×40589641000000     		ar = 74283.3155909582m²