Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22314 / 13666
↖ ↑ ↗
← N 80.487692°
W118.712769°		 ← 50.47 m → N 80.487692°
W118.710022°		 →
↑
50.46 m
↓
↑
50.46 m
↓
N 80.487238°
W118.712769°		 ← 50.48 m →
2 547 m²		 N 80.487238°
W118.710022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170246124267578 y=0.104267120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170246124267578 × 217)
    floor (0.170246124267578 × 131072)
    floor (22314.5)     		tx = 22314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104267120361328 × 217)
    floor (0.104267120361328 × 131072)
    floor (13666.5)     		ty = 13666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22314 / 13666 ti = "17/22314/13666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22314/13666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22314 ÷ 217
    22314 ÷ 131072     		x = 0.170242309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13666 ÷ 217
    13666 ÷ 131072     		y = 0.104263305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170242309570312 × 2 - 1) × π
    -0.659515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.07192868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104263305664062 × 2 - 1) × π
    0.791473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48648698329231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07192868} λ = -2.07192868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48648698329231))-π/2
    2×atan(12.0189789946724)-π/2
    2×1.48778577926144-π/2
    2.97557155852287-1.57079632675     		φ = 1.40477523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07192868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.712769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40477523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.487692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22314 KachelY 13666 -2.07192868 1.40477523 -118.712769 80.487692
    Oben rechts KachelX + 1 22315 KachelY 13666 -2.07188074 1.40477523 -118.710022 80.487692
    Unten links KachelX 22314 KachelY + 1 13667 -2.07192868 1.40476731 -118.712769 80.487238
    Unten rechts KachelX + 1 22315 KachelY + 1 13667 -2.07188074 1.40476731 -118.710022 80.487238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40477523-1.40476731) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dl = 50.4583200003192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40477523-1.40476731) × R
    7.92000000005011e-06 × 6371000     		dr = 50.4583200003192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07192868--2.07188074) × cos(1.40477523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165259473808615 × 6371000     		do = 50.4744970799738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07192868--2.07188074) × cos(1.40476731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165267284904411 × 6371000     		du = 50.4768827896874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40477523)-sin(1.40476731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165259473808615-0.165267284904411)×R²
    abs(-2.07188074--2.07192868)×7.8110957958677e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.8110957958677e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.8110957958677e-06×40589641000000     		ar = 2546.91851494866m²