Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 223 / 289
↖ ↑ ↗
← N 61.438767°
W101.601562°		 ← 18.690 km → N 61.438767°
W101.250000°		 →
↑
18.740 km
↓
↑
18.740 km
↓
N 61.270233°
W101.601562°		 ← 18.791 km →
351.195 km²		 N 61.270233°
W101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21826171875 y=0.28271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21826171875 × 210)
    floor (0.21826171875 × 1024)
    floor (223.5)     		tx = 223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28271484375 × 210)
    floor (0.28271484375 × 1024)
    floor (289.5)     		ty = 289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 223 / 289 ti = "10/223/289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/223/289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 223 ÷ 210
    223 ÷ 1024     		x = 0.2177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 289 ÷ 210
    289 ÷ 1024     		y = 0.2822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2177734375 × 2 - 1) × π
    -0.564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77328179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77328179} λ = -1.77328179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36831086275488))-π/2
    2×atan(3.92870895901954)-π/2
    2×1.32155255395411-π/2
    2.64310510790823-1.57079632675     		φ = 1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77328179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 223 KachelY 289 -1.77328179 1.07230878 -101.601562 61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 224 KachelY 289 -1.76714587 1.07230878 -101.250000 61.438767
    Unten links KachelX 223 KachelY + 1 290 -1.77328179 1.06936730 -101.601562 61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 224 KachelY + 1 290 -1.76714587 1.06936730 -101.250000 61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07230878-1.06936730) × R
    0.00294148000000005 × 6371000     		dl = 18740.1690800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07230878-1.06936730) × R
    0.00294148000000005 × 6371000     		dr = 18740.1690800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77328179--1.76714587) × cos(1.07230878) × R
    0.00613591999999996 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 18689.769163041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77328179--1.76714587) × cos(1.06936730) × R
    0.00613591999999996 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 18790.683046215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07230878)-sin(1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.480679137651468)×R²
    abs(-1.76714587--1.77328179)×0.00258144944608052×R²
    0.00613591999999996×0.00258144944608052×6371000²
    0.00613591999999996×0.00258144944608052×40589641000000     		ar = 351195259.018898m²