Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22296 / 47368
↖ ↑ ↗
← S 62.288365°
W 57.524414°		 ← 284.06 m → S 62.288365°
W 57.518921°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
S 62.290920°
W 57.524414°		 ← 284.04 m →
80 675 m²		 S 62.290920°
W 57.518921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340217590332031 y=0.722785949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340217590332031 × 216)
    floor (0.340217590332031 × 65536)
    floor (22296.5)     		tx = 22296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722785949707031 × 216)
    floor (0.722785949707031 × 65536)
    floor (47368.5)     		ty = 47368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22296 / 47368 ti = "16/22296/47368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22296/47368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22296 ÷ 216
    22296 ÷ 65536     		x = 0.3402099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47368 ÷ 216
    47368 ÷ 65536     		y = 0.7227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.319580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00399043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00399043} λ = -1.00399043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39975746890564))-π/2
    2×atan(0.246656778626304)-π/2
    2×0.241829635082372-π/2
    0.483659270164745-1.57079632675     		φ = -1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00399043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22296 KachelY 47368 -1.00399043 -1.08713706 -57.524414 -62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 22297 KachelY 47368 -1.00389455 -1.08713706 -57.518921 -62.288365
    Unten links KachelX 22296 KachelY + 1 47369 -1.00399043 -1.08718164 -57.524414 -62.290920
    Unten rechts KachelX + 1 22297 KachelY + 1 47369 -1.00389455 -1.08718164 -57.518921 -62.290920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08713706--1.08718164) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dl = 284.01917999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08713706--1.08718164) × R
    4.45799999999608e-05 × 6371000     		dr = 284.01917999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00399043--1.00389455) × cos(-1.08713706) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 284.059271685142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00399043--1.00389455) × cos(-1.08718164) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.464982360602987 × 6371000     		du = 284.035163148042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08713706)-sin(-1.08718164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.464982360602987)×R²
    abs(-1.00389455--1.00399043)×3.9467101070223e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9467101070223e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9467101070223e-05×40589641000000     		ar = 80674.8577851705m²