Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22290 / 29490
↖ ↑ ↗
← N 69.852870°
W118.778686°		 ← 105.20 m → N 69.852870°
W118.775940°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 69.851924°
W118.778686°		 ← 105.20 m →
11 066 m²		 N 69.851924°
W118.775940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170063018798828 y=0.224994659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170063018798828 × 217)
    floor (0.170063018798828 × 131072)
    floor (22290.5)     		tx = 22290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224994659423828 × 217)
    floor (0.224994659423828 × 131072)
    floor (29490.5)     		ty = 29490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22290 / 29490 ti = "17/22290/29490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22290/29490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22290 ÷ 217
    22290 ÷ 131072     		x = 0.170059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29490 ÷ 217
    29490 ÷ 131072     		y = 0.224990844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.659881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07307916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224990844726562 × 2 - 1) × π
    0.550018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72793348370454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07307916} λ = -2.07307916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72793348370454))-π/2
    2×atan(5.62900944109424)-π/2
    2×1.39497945244335-π/2
    2.7899589048867-1.57079632675     		φ = 1.21916258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07307916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.778686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21916258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.852870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22290 KachelY 29490 -2.07307916 1.21916258 -118.778686 69.852870
    Oben rechts KachelX + 1 22291 KachelY 29490 -2.07303122 1.21916258 -118.775940 69.852870
    Unten links KachelX 22290 KachelY + 1 29491 -2.07307916 1.21914607 -118.778686 69.851924
    Unten rechts KachelX + 1 22291 KachelY + 1 29491 -2.07303122 1.21914607 -118.775940 69.851924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21916258-1.21914607) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21916258-1.21914607) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07307916--2.07303122) × cos(1.21916258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344432046312493 × 6371000     		do = 105.198412624638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07307916--2.07303122) × cos(1.21914607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344447546039308 × 6371000     		du = 105.203146640171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21916258)-sin(1.21914607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344432046312493-0.344447546039308)×R²
    abs(-2.07303122--2.07307916)×1.54997268147494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54997268147494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54997268147494e-05×40589641000000     		ar = 11065.566097979m²