Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22289 / 12017
↖ ↑ ↗
← N 81.207719°
W118.781433°		 ← 46.69 m → N 81.207719°
W118.778686°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
N 81.207299°
W118.781433°		 ← 46.69 m →
2 180 m²		 N 81.207299°
W118.778686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170055389404297 y=0.0916862487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170055389404297 × 217)
    floor (0.170055389404297 × 131072)
    floor (22289.5)     		tx = 22289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0916862487792969 × 217)
    floor (0.0916862487792969 × 131072)
    floor (12017.5)     		ty = 12017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22289 / 12017 ti = "17/22289/12017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22289/12017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22289 ÷ 217
    22289 ÷ 131072     		x = 0.170051574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12017 ÷ 217
    12017 ÷ 131072     		y = 0.0916824340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170051574707031 × 2 - 1) × π
    -0.659896850585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.07312710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0916824340820312 × 2 - 1) × π
    0.816635131835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.56553493076579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07312710} λ = -2.07312710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56553493076579))-π/2
    2×atan(13.007614682215)-π/2
    2×1.4940692017061-π/2
    2.9881384034122-1.57079632675     		φ = 1.41734208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07312710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.781433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41734208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.207719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22289 KachelY 12017 -2.07312710 1.41734208 -118.781433 81.207719
    Oben rechts KachelX + 1 22290 KachelY 12017 -2.07307916 1.41734208 -118.778686 81.207719
    Unten links KachelX 22289 KachelY + 1 12018 -2.07312710 1.41733475 -118.781433 81.207299
    Unten rechts KachelX + 1 22290 KachelY + 1 12018 -2.07307916 1.41733475 -118.778686 81.207299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41734208-1.41733475) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41734208-1.41733475) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07312710--2.07307916) × cos(1.41734208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152852693474711 × 6371000     		do = 46.6851470154761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07312710--2.07307916) × cos(1.41733475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152859937335656 × 6371000     		du = 46.6873594770658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41734208)-sin(1.41733475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152852693474711-0.152859937335656)×R²
    abs(-2.07307916--2.07312710)×7.24386094541618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24386094541618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24386094541618e-06×40589641000000     		ar = 2180.22141561664m²