Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22282 / 47286
↖ ↑ ↗
← S 62.078171°
W 57.601318°		 ← 286.01 m → S 62.078171°
W 57.595825°		 →
↑
286.06 m
↓
↑
286.06 m
↓
S 62.080743°
W 57.601318°		 ← 285.99 m →
81 812 m²		 S 62.080743°
W 57.595825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340003967285156 y=0.721534729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340003967285156 × 216)
    floor (0.340003967285156 × 65536)
    floor (22282.5)     		tx = 22282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721534729003906 × 216)
    floor (0.721534729003906 × 65536)
    floor (47286.5)     		ty = 47286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22282 / 47286 ti = "16/22282/47286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22282/47286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22282 ÷ 216
    22282 ÷ 65536     		x = 0.339996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47286 ÷ 216
    47286 ÷ 65536     		y = 0.721527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.32000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00533266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39189581736795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00533266} λ = -1.00533266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39189581736795))-π/2
    2×atan(0.248603550664198)-π/2
    2×0.243663926635641-π/2
    0.487327853271281-1.57079632675     		φ = -1.08346847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00533266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.601318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08346847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.078171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22282 KachelY 47286 -1.00533266 -1.08346847 -57.601318 -62.078171
    Oben rechts KachelX + 1 22283 KachelY 47286 -1.00523679 -1.08346847 -57.595825 -62.078171
    Unten links KachelX 22282 KachelY + 1 47287 -1.00533266 -1.08351337 -57.601318 -62.080743
    Unten rechts KachelX + 1 22283 KachelY + 1 47287 -1.00523679 -1.08351337 -57.595825 -62.080743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08346847--1.08351337) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dl = 286.057900000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08346847--1.08351337) × R
    4.49000000000144e-05 × 6371000     		dr = 286.057900000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00533266--1.00523679) × cos(-1.08346847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468266491008589 × 6371000     		do = 286.011445808855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00533266--1.00523679) × cos(-1.08351337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46822681746741 × 6371000     		du = 285.98721369511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08346847)-sin(-1.08351337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468266491008589-0.46822681746741)×R²
    abs(-1.00523679--1.00533266)×3.96735411790639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96735411790639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96735411790639e-05×40589641000000     		ar = 81812.3676838997m²