Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2228 / 6549
↖ ↑ ↗
← S 72.672682°
W 82.089844°		 ← 1 455.34 m → S 72.672682°
W 82.045899°		 →
↑
1 454.82 m
↓
↑
1 454.82 m
↓
S 72.685765°
W 82.089844°		 ← 1 454.28 m →
2 116 486 m²		 S 72.685765°
W 82.045899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27203369140625 y=0.79949951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27203369140625 × 213)
    floor (0.27203369140625 × 8192)
    floor (2228.5)     		tx = 2228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79949951171875 × 213)
    floor (0.79949951171875 × 8192)
    floor (6549.5)     		ty = 6549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2228 / 6549 ti = "13/2228/6549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2228/6549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2228 ÷ 213
    2228 ÷ 8192     		x = 0.27197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6549 ÷ 213
    6549 ÷ 8192     		y = 0.7994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    -0.4560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43273806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88142743628796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43273806} λ = -1.43273806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88142743628796))-π/2
    2×atan(0.152372448485644)-π/2
    2×0.151209379219704-π/2
    0.302418758439409-1.57079632675     		φ = -1.26837757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43273806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26837757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.672682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2228 KachelY 6549 -1.43273806 -1.26837757 -82.089844 -72.672682
    Oben rechts KachelX + 1 2229 KachelY 6549 -1.43197107 -1.26837757 -82.045899 -72.672682
    Unten links KachelX 2228 KachelY + 1 6550 -1.43273806 -1.26860592 -82.089844 -72.685765
    Unten rechts KachelX + 1 2229 KachelY + 1 6550 -1.43197107 -1.26860592 -82.045899 -72.685765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26837757--1.26860592) × R
    0.000228349999999988 × 6371000     		dl = 1454.81784999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26837757--1.26860592) × R
    0.000228349999999988 × 6371000     		dr = 1454.81784999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43273806--1.43197107) × cos(-1.26837757) × R
    0.000766990000000023 × 0.297830066579732 × 6371000     		do = 1455.34462190216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43273806--1.43197107) × cos(-1.26860592) × R
    0.000766990000000023 × 0.297612071589966 × 6371000     		du = 1454.27939084741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26837757)-sin(-1.26860592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297830066579732-0.297612071589966)×R²
    abs(-1.43197107--1.43273806)×0.000217994989766324×R²
    0.000766990000000023×0.000217994989766324×6371000²
    0.000766990000000023×0.000217994989766324×40589641000000     		ar = 2116486.48446325m²