Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2228 / 2994
↖ ↑ ↗
← S 63.626745°
E 15.820312°		 ← 4 341.33 m → S 63.626745°
E 15.908203°		 →
↑
4 338.33 m
↓
↑
4 338.33 m
↓
S 63.665760°
E 15.820312°		 ← 4 335.36 m →
18 821 185 m²		 S 63.665760°
E 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5440673828125 y=0.7310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5440673828125 × 212)
    floor (0.5440673828125 × 4096)
    floor (2228.5)     		tx = 2228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7310791015625 × 212)
    floor (0.7310791015625 × 4096)
    floor (2994.5)     		ty = 2994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2228 / 2994 ti = "12/2228/2994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2228/2994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2228 ÷ 212
    2228 ÷ 4096     		x = 0.5439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2994 ÷ 212
    2994 ÷ 4096     		y = 0.73095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5439453125 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27611654} λ = 0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45114582529834))-π/2
    2×atan(0.234301665450161)-π/2
    2×0.230150070218353-π/2
    0.460300140436706-1.57079632675     		φ = -1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2228 KachelY 2994 0.27611654 -1.11049619 15.820312 -63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 2229 KachelY 2994 0.27765052 -1.11049619 15.908203 -63.626745
    Unten links KachelX 2228 KachelY + 1 2995 0.27611654 -1.11117714 15.820312 -63.665760
    Unten rechts KachelX + 1 2229 KachelY + 1 2995 0.27765052 -1.11117714 15.908203 -63.665760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11049619--1.11117714) × R
    0.000680949999999791 × 6371000     		dl = 4338.33244999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11049619--1.11117714) × R
    0.000680949999999791 × 6371000     		dr = 4338.33244999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27611654-0.27765052) × cos(-1.11049619) × R
    0.00153397999999999 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 4341.32702676921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27611654-0.27765052) × cos(-1.11117714) × R
    0.00153397999999999 × 0.443606846159856 × 6371000     		du = 4335.36375431637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11049619)-sin(-1.11117714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.443606846159856)×R²
    abs(0.27765052-0.27611654)×0.000610179130404565×R²
    0.00153397999999999×0.000610179130404565×6371000²
    0.00153397999999999×0.000610179130404565×40589641000000     		ar = 18821185.3143633m²