Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22279 / 47867
↖ ↑ ↗
← S 63.536315°
W 57.617798°		 ← 272.19 m → S 63.536315°
W 57.612305°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
S 63.538763°
W 57.617798°		 ← 272.16 m →
74 077 m²		 S 63.538763°
W 57.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339958190917969 y=0.730400085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339958190917969 × 216)
    floor (0.339958190917969 × 65536)
    floor (22279.5)     		tx = 22279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730400085449219 × 216)
    floor (0.730400085449219 × 65536)
    floor (47867.5)     		ty = 47867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22279 / 47867 ti = "16/22279/47867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22279/47867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22279 ÷ 216
    22279 ÷ 65536     		x = 0.339950561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47867 ÷ 216
    47867 ÷ 65536     		y = 0.730392456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339950561523438 × 2 - 1) × π
    -0.320098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00562028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730392456054688 × 2 - 1) × π
    -0.460784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44759849472646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00562028} λ = -1.00562028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44759849472646))-π/2
    2×atan(0.235134286829582)-π/2
    2×0.230939215550162-π/2
    0.461878431100324-1.57079632675     		φ = -1.10891790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00562028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.617798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10891790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.536315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22279 KachelY 47867 -1.00562028 -1.10891790 -57.617798 -63.536315
    Oben rechts KachelX + 1 22280 KachelY 47867 -1.00552441 -1.10891790 -57.612305 -63.536315
    Unten links KachelX 22279 KachelY + 1 47868 -1.00562028 -1.10896062 -57.617798 -63.538763
    Unten rechts KachelX + 1 22280 KachelY + 1 47868 -1.00552441 -1.10896062 -57.612305 -63.538763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10891790--1.10896062) × R
    4.27199999999406e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10891790--1.10896062) × R
    4.27199999999406e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00562028--1.00552441) × cos(-1.10891790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445630491764284 × 6371000     		do = 272.185654308705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00562028--1.00552441) × cos(-1.10896062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445592247687712 × 6371000     		du = 272.162295294459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10891790)-sin(-1.10896062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445630491764284-0.445592247687712)×R²
    abs(-1.00552441--1.00562028)×3.82440765728242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82440765728242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82440765728242e-05×40589641000000     		ar = 74077.3512200277m²