Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22278 / 47864
↖ ↑ ↗
← S 63.528971°
W 57.623291°		 ← 272.26 m → S 63.528971°
W 57.617798°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
S 63.531419°
W 57.623291°		 ← 272.23 m →
74 114 m²		 S 63.531419°
W 57.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339942932128906 y=0.730354309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339942932128906 × 216)
    floor (0.339942932128906 × 65536)
    floor (22278.5)     		tx = 22278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730354309082031 × 216)
    floor (0.730354309082031 × 65536)
    floor (47864.5)     		ty = 47864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22278 / 47864 ti = "16/22278/47864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22278/47864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22278 ÷ 216
    22278 ÷ 65536     		x = 0.339935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47864 ÷ 216
    47864 ÷ 65536     		y = 0.7303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.32012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00571615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44731087332874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00571615} λ = -1.00571615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44731087332874))-π/2
    2×atan(0.235201926208612)-π/2
    2×0.231003310234304-π/2
    0.462006620468609-1.57079632675     		φ = -1.10878971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00571615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10878971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.528971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22278 KachelY 47864 -1.00571615 -1.10878971 -57.623291 -63.528971
    Oben rechts KachelX + 1 22279 KachelY 47864 -1.00562028 -1.10878971 -57.617798 -63.528971
    Unten links KachelX 22278 KachelY + 1 47865 -1.00571615 -1.10883244 -57.623291 -63.531419
    Unten rechts KachelX + 1 22279 KachelY + 1 47865 -1.00562028 -1.10883244 -57.617798 -63.531419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10878971--1.10883244) × R
    4.27300000001019e-05 × 6371000     		dl = 272.232830000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10878971--1.10883244) × R
    4.27300000001019e-05 × 6371000     		dr = 272.232830000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00571615--1.00562028) × cos(-1.10878971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44574524596887 × 6371000     		do = 272.255744773422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00571615--1.00562028) × cos(-1.10883244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445706995381114 × 6371000     		du = 272.232381782225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10878971)-sin(-1.10883244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44574524596887-0.445706995381114)×R²
    abs(-1.00562028--1.00571615)×3.82505877565276e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82505877565276e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82505877565276e-05×40589641000000     		ar = 74113.7718083765m²