Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22278 / 47289
↖ ↑ ↗
← S 62.085887°
W 57.623291°		 ← 285.94 m → S 62.085887°
W 57.617798°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
S 62.088458°
W 57.623291°		 ← 285.91 m →
81 755 m²		 S 62.088458°
W 57.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339942932128906 y=0.721580505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339942932128906 × 216)
    floor (0.339942932128906 × 65536)
    floor (22278.5)     		tx = 22278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721580505371094 × 216)
    floor (0.721580505371094 × 65536)
    floor (47289.5)     		ty = 47289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22278 / 47289 ti = "16/22278/47289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22278/47289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22278 ÷ 216
    22278 ÷ 65536     		x = 0.339935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47289 ÷ 216
    47289 ÷ 65536     		y = 0.721572875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.32012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00571615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721572875976562 × 2 - 1) × π
    -0.443145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39218343876567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00571615} λ = -1.00571615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39218343876567))-π/2
    2×atan(0.248532057245489)-π/2
    2×0.243596593461309-π/2
    0.487193186922619-1.57079632675     		φ = -1.08360314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00571615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08360314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.085887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22278 KachelY 47289 -1.00571615 -1.08360314 -57.623291 -62.085887
    Oben rechts KachelX + 1 22279 KachelY 47289 -1.00562028 -1.08360314 -57.617798 -62.085887
    Unten links KachelX 22278 KachelY + 1 47290 -1.00571615 -1.08364802 -57.623291 -62.088458
    Unten rechts KachelX + 1 22279 KachelY + 1 47290 -1.00562028 -1.08364802 -57.617798 -62.088458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08360314--1.08364802) × R
    4.48800000001359e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08360314--1.08364802) × R
    4.48800000001359e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00571615--1.00562028) × cos(-1.08360314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468147494062792 × 6371000     		do = 285.938763929695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00571615--1.00562028) × cos(-1.08364802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468107835364061 × 6371000     		du = 285.914540881535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08360314)-sin(-1.08364802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468147494062792-0.468107835364061)×R²
    abs(-1.00562028--1.00571615)×3.9658698731404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9658698731404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9658698731404e-05×40589641000000     		ar = 81755.1449811537m²