Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22277 / 47869
↖ ↑ ↗
← S 63.541211°
W 57.628784°		 ← 272.17 m → S 63.541211°
W 57.623291°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
S 63.543658°
W 57.628784°		 ← 272.14 m →
74 055 m²		 S 63.543658°
W 57.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339927673339844 y=0.730430603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339927673339844 × 216)
    floor (0.339927673339844 × 65536)
    floor (22277.5)     		tx = 22277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730430603027344 × 216)
    floor (0.730430603027344 × 65536)
    floor (47869.5)     		ty = 47869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22277 / 47869 ti = "16/22277/47869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22277/47869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22277 ÷ 216
    22277 ÷ 65536     		x = 0.339920043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47869 ÷ 216
    47869 ÷ 65536     		y = 0.730422973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.320159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00581203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730422973632812 × 2 - 1) × π
    -0.460845947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44779024232494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00581203} λ = -1.00581203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44779024232494))-π/2
    2×atan(0.235089204717093)-π/2
    2×0.230896494928266-π/2
    0.461792989856532-1.57079632675     		φ = -1.10900334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00581203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.628784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10900334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.541211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22277 KachelY 47869 -1.00581203 -1.10900334 -57.628784 -63.541211
    Oben rechts KachelX + 1 22278 KachelY 47869 -1.00571615 -1.10900334 -57.623291 -63.541211
    Unten links KachelX 22277 KachelY + 1 47870 -1.00581203 -1.10904605 -57.628784 -63.543658
    Unten rechts KachelX + 1 22278 KachelY + 1 47870 -1.00571615 -1.10904605 -57.623291 -63.543658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10900334--1.10904605) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10900334--1.10904605) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00581203--1.00571615) × cos(-1.10900334) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445554002797934 × 6371000     		do = 272.167322028863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00581203--1.00571615) × cos(-1.10904605) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445515766047761 × 6371000     		du = 272.14396505343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10900334)-sin(-1.10904605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445554002797934-0.445515766047761)×R²
    abs(-1.00571615--1.00581203)×3.8236750172338e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.8236750172338e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.8236750172338e-05×40589641000000     		ar = 74055.0229811155m²