Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22277 / 47868
↖ ↑ ↗
← S 63.538763°
W 57.628784°		 ← 272.19 m → S 63.538763°
W 57.623291°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
S 63.541211°
W 57.628784°		 ← 272.17 m →
74 079 m²		 S 63.541211°
W 57.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339927673339844 y=0.730415344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339927673339844 × 216)
    floor (0.339927673339844 × 65536)
    floor (22277.5)     		tx = 22277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730415344238281 × 216)
    floor (0.730415344238281 × 65536)
    floor (47868.5)     		ty = 47868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22277 / 47868 ti = "16/22277/47868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22277/47868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22277 ÷ 216
    22277 ÷ 65536     		x = 0.339920043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47868 ÷ 216
    47868 ÷ 65536     		y = 0.73040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.320159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00581203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.4608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4476943685257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00581203} λ = -1.00581203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4476943685257))-π/2
    2×atan(0.235111744692789)-π/2
    2×0.23091785432254-π/2
    0.461835708645079-1.57079632675     		φ = -1.10896062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00581203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.628784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10896062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.538763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22277 KachelY 47868 -1.00581203 -1.10896062 -57.628784 -63.538763
    Oben rechts KachelX + 1 22278 KachelY 47868 -1.00571615 -1.10896062 -57.623291 -63.538763
    Unten links KachelX 22277 KachelY + 1 47869 -1.00581203 -1.10900334 -57.628784 -63.541211
    Unten rechts KachelX + 1 22278 KachelY + 1 47869 -1.00571615 -1.10900334 -57.623291 -63.541211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10896062--1.10900334) × R
    4.27199999999406e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10896062--1.10900334) × R
    4.27199999999406e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00581203--1.00571615) × cos(-1.10896062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445592247687712 × 6371000     		do = 272.190683976387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00581203--1.00571615) × cos(-1.10900334) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445554002797934 × 6371000     		du = 272.167322028863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10896062)-sin(-1.10900334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445592247687712-0.445554002797934)×R²
    abs(-1.00571615--1.00581203)×3.82448897779386e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82448897779386e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82448897779386e-05×40589641000000     		ar = 74078.7197406779m²