Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22275 / 47870
↖ ↑ ↗
← S 63.543658°
W 57.639771°		 ← 272.14 m → S 63.543658°
W 57.634277°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
S 63.546105°
W 57.639771°		 ← 272.12 m →
74 049 m²		 S 63.546105°
W 57.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339897155761719 y=0.730445861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339897155761719 × 216)
    floor (0.339897155761719 × 65536)
    floor (22275.5)     		tx = 22275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730445861816406 × 216)
    floor (0.730445861816406 × 65536)
    floor (47870.5)     		ty = 47870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22275 / 47870 ti = "16/22275/47870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22275/47870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22275 ÷ 216
    22275 ÷ 65536     		x = 0.339889526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47870 ÷ 216
    47870 ÷ 65536     		y = 0.730438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.320220947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00600378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.46087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44788611612418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00600378} λ = -1.00600378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44788611612418))-π/2
    2×atan(0.235066666902287)-π/2
    2×0.230875137367222-π/2
    0.461750274734445-1.57079632675     		φ = -1.10904605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00600378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.639771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10904605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.543658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22275 KachelY 47870 -1.00600378 -1.10904605 -57.639771 -63.543658
    Oben rechts KachelX + 1 22276 KachelY 47870 -1.00590790 -1.10904605 -57.634277 -63.543658
    Unten links KachelX 22275 KachelY + 1 47871 -1.00600378 -1.10908876 -57.639771 -63.546105
    Unten rechts KachelX + 1 22276 KachelY + 1 47871 -1.00590790 -1.10908876 -57.634277 -63.546105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10904605--1.10908876) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10904605--1.10908876) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00600378--1.00590790) × cos(-1.10904605) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445515766047761 × 6371000     		do = 272.14396505343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00600378--1.00590790) × cos(-1.10908876) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445477528484904 × 6371000     		du = 272.120607581567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10904605)-sin(-1.10908876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445515766047761-0.445477528484904)×R²
    abs(-1.00590790--1.00600378)×3.82375628573683e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82375628573683e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82375628573683e-05×40589641000000     		ar = 74048.6673536626m²