Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22275 / 47283
↖ ↑ ↗
← S 62.070453°
W 57.639771°		 ← 286.11 m → S 62.070453°
W 57.634277°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
S 62.073026°
W 57.639771°		 ← 286.09 m →
81 860 m²		 S 62.073026°
W 57.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339897155761719 y=0.721488952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339897155761719 × 216)
    floor (0.339897155761719 × 65536)
    floor (22275.5)     		tx = 22275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721488952636719 × 216)
    floor (0.721488952636719 × 65536)
    floor (47283.5)     		ty = 47283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22275 / 47283 ti = "16/22275/47283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22275/47283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22275 ÷ 216
    22275 ÷ 65536     		x = 0.339889526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47283 ÷ 216
    47283 ÷ 65536     		y = 0.721481323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.320220947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00600378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721481323242188 × 2 - 1) × π
    -0.442962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39160819597023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00600378} λ = -1.00600378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39160819597023))-π/2
    2×atan(0.248675064648901)-π/2
    2×0.243731276924106-π/2
    0.487462553848212-1.57079632675     		φ = -1.08333377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00600378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.639771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08333377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.070453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22275 KachelY 47283 -1.00600378 -1.08333377 -57.639771 -62.070453
    Oben rechts KachelX + 1 22276 KachelY 47283 -1.00590790 -1.08333377 -57.634277 -62.070453
    Unten links KachelX 22275 KachelY + 1 47284 -1.00600378 -1.08337868 -57.639771 -62.073026
    Unten rechts KachelX + 1 22276 KachelY + 1 47284 -1.00590790 -1.08337868 -57.634277 -62.073026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08333377--1.08337868) × R
    4.49099999999536e-05 × 6371000     		dl = 286.121609999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08333377--1.08337868) × R
    4.49099999999536e-05 × 6371000     		dr = 286.121609999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00600378--1.00590790) × cos(-1.08333377) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468385505967626 × 6371000     		do = 286.113979530686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00600378--1.00590790) × cos(-1.08337868) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468345826423324 × 6371000     		du = 286.089741222323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08333377)-sin(-1.08337868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468385505967626-0.468345826423324)×R²
    abs(-1.00590790--1.00600378)×3.96795443016185e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96795443016185e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96795443016185e-05×40589641000000     		ar = 81859.924928556m²