Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22271 / 47872
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
W 57.661743°		 ← 272.07 m → S 63.548552°
W 57.656250°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
S 63.550999°
W 57.661743°		 ← 272.05 m →
74 028 m²		 S 63.550999°
W 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339836120605469 y=0.730476379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339836120605469 × 216)
    floor (0.339836120605469 × 65536)
    floor (22271.5)     		tx = 22271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730476379394531 × 216)
    floor (0.730476379394531 × 65536)
    floor (47872.5)     		ty = 47872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22271 / 47872 ti = "16/22271/47872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22271/47872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22271 ÷ 216
    22271 ÷ 65536     		x = 0.339828491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47872 ÷ 216
    47872 ÷ 65536     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339828491210938 × 2 - 1) × π
    -0.320343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00638727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00638727} λ = -1.00638727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00638727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22271 KachelY 47872 -1.00638727 -1.10913147 -57.661743 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 22272 KachelY 47872 -1.00629140 -1.10913147 -57.656250 -63.548552
    Unten links KachelX 22271 KachelY + 1 47873 -1.00638727 -1.10917418 -57.661743 -63.550999
    Unten rechts KachelX + 1 22272 KachelY + 1 47873 -1.00629140 -1.10917418 -57.656250 -63.550999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.10917418) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.10917418) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00638727--1.00629140) × cos(-1.10913147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 272.068870676317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00638727--1.00629140) × cos(-1.10917418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445401050921413 × 6371000     		du = 272.045514647941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.10917418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.445401050921413)×R²
    abs(-1.00629140--1.00638727)×3.82391880179855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82391880179855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82391880179855e-05×40589641000000     		ar = 74028.233964369m²