Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2227 / 6486
↖ ↑ ↗
← S 71.828840°
W 82.133789°		 ← 1 523.89 m → S 71.828840°
W 82.089844°		 →
↑
1 523.31 m
↓
↑
1 523.31 m
↓
S 71.842539°
W 82.133789°		 ← 1 522.78 m →
2 320 499 m²		 S 71.842539°
W 82.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27191162109375 y=0.79180908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27191162109375 × 213)
    floor (0.27191162109375 × 8192)
    floor (2227.5)     		tx = 2227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79180908203125 × 213)
    floor (0.79180908203125 × 8192)
    floor (6486.5)     		ty = 6486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2227 / 6486 ti = "13/2227/6486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2227/6486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2227 ÷ 213
    2227 ÷ 8192     		x = 0.2718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6486 ÷ 213
    6486 ÷ 8192     		y = 0.791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43350505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.58349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.83310704147095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43350505} λ = -1.43350505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83310704147095))-π/2
    2×atan(0.159915929659062)-π/2
    2×0.158573289250181-π/2
    0.317146578500361-1.57079632675     		φ = -1.25364975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43350505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.133789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25364975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.828840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2227 KachelY 6486 -1.43350505 -1.25364975 -82.133789 -71.828840
    Oben rechts KachelX + 1 2228 KachelY 6486 -1.43273806 -1.25364975 -82.089844 -71.828840
    Unten links KachelX 2227 KachelY + 1 6487 -1.43350505 -1.25388885 -82.133789 -71.842539
    Unten rechts KachelX + 1 2228 KachelY + 1 6487 -1.43273806 -1.25388885 -82.089844 -71.842539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25364975--1.25388885) × R
    0.000239100000000159 × 6371000     		dl = 1523.30610000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25364975--1.25388885) × R
    0.000239100000000159 × 6371000     		dr = 1523.30610000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43350505--1.43273806) × cos(-1.25364975) × R
    0.000766990000000023 × 0.311856713319223 × 6371000     		do = 1523.88573707588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43350505--1.43273806) × cos(-1.25388885) × R
    0.000766990000000023 × 0.311629528528808 × 6371000     		du = 1522.77560012193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25364975)-sin(-1.25388885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311856713319223-0.311629528528808)×R²
    abs(-1.43273806--1.43350505)×0.000227184790414559×R²
    0.000766990000000023×0.000227184790414559×6371000²
    0.000766990000000023×0.000227184790414559×40589641000000     		ar = 2320498.91085069m²