Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2227 / 2372
↖ ↑ ↗
← S 27.371767°
E 15.732422°		 ← 8 678.82 m → S 27.371767°
E 15.820312°		 →
↑
8 675.77 m
↓
↑
8 675.77 m
↓
S 27.449790°
E 15.732422°		 ← 8 672.70 m →
75 268 932 m²		 S 27.449790°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5438232421875 y=0.5792236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5438232421875 × 212)
    floor (0.5438232421875 × 4096)
    floor (2227.5)     		tx = 2227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5792236328125 × 212)
    floor (0.5792236328125 × 4096)
    floor (2372.5)     		ty = 2372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2227 / 2372 ti = "12/2227/2372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2227/2372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2227 ÷ 212
    2227 ÷ 4096     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2372 ÷ 212
    2372 ÷ 4096     		y = 0.5791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5791015625 × 2 - 1) × π
    -0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497009775260742))-π/2
    2×atan(0.608347037031202)-π/2
    2×0.546534432661832-π/2
    1.09306886532366-1.57079632675     		φ = -0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2227 KachelY 2372 0.27458256 -0.47772746 15.732422 -27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 2228 KachelY 2372 0.27611654 -0.47772746 15.820312 -27.371767
    Unten links KachelX 2227 KachelY + 1 2373 0.27458256 -0.47908922 15.732422 -27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 2228 KachelY + 1 2373 0.27611654 -0.47908922 15.820312 -27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47772746--0.47908922) × R
    0.00136175999999999 × 6371000     		dl = 8675.77295999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47772746--0.47908922) × R
    0.00136175999999999 × 6371000     		dr = 8675.77295999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27611654) × cos(-0.47772746) × R
    0.00153398000000005 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 8678.8229697844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27611654) × cos(-0.47908922) × R
    0.00153398000000005 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 8672.69619614116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47772746)-sin(-0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.887415134068556)×R²
    abs(0.27611654-0.27458256)×0.000626909040863377×R²
    0.00153398000000005×0.000626909040863377×6371000²
    0.00153398000000005×0.000626909040863377×40589641000000     		ar = 75268932.028826m²