Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22269 / 47874
↖ ↑ ↗
← S 63.553446°
W 57.672730°		 ← 272.05 m → S 63.553446°
W 57.667236°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
S 63.555892°
W 57.672730°		 ← 272.03 m →
73 989 m²		 S 63.555892°
W 57.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339805603027344 y=0.730506896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339805603027344 × 216)
    floor (0.339805603027344 × 65536)
    floor (22269.5)     		tx = 22269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730506896972656 × 216)
    floor (0.730506896972656 × 65536)
    floor (47874.5)     		ty = 47874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22269 / 47874 ti = "16/22269/47874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22269/47874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22269 ÷ 216
    22269 ÷ 65536     		x = 0.339797973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47874 ÷ 216
    47874 ÷ 65536     		y = 0.730499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339797973632812 × 2 - 1) × π
    -0.320404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00657902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.46099853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44826961132114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00657902} λ = -1.00657902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44826961132114))-π/2
    2×atan(0.234976537247814)-π/2
    2×0.230789725452984-π/2
    0.461579450905968-1.57079632675     		φ = -1.10921688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00657902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.672730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10921688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.553446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22269 KachelY 47874 -1.00657902 -1.10921688 -57.672730 -63.553446
    Oben rechts KachelX + 1 22270 KachelY 47874 -1.00648314 -1.10921688 -57.667236 -63.553446
    Unten links KachelX 22269 KachelY + 1 47875 -1.00657902 -1.10925957 -57.672730 -63.555892
    Unten rechts KachelX + 1 22270 KachelY + 1 47875 -1.00648314 -1.10925957 -57.667236 -63.555892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10921688--1.10925957) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10921688--1.10925957) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00657902--1.00648314) × cos(-1.10921688) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445362819874422 × 6371000     		do = 272.050537657085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00657902--1.00648314) × cos(-1.10925957) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445324596969096 × 6371000     		du = 272.027189138797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10921688)-sin(-1.10925957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445362819874422-0.445324596969096)×R²
    abs(-1.00648314--1.00657902)×3.82229053254579e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82229053254579e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82229053254579e-05×40589641000000     		ar = 73988.5832805068m²