Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22267 / 47850
↖ ↑ ↗
← S 63.494670°
W 57.683716°		 ← 272.61 m → S 63.494670°
W 57.678223°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
S 63.497122°
W 57.683716°		 ← 272.59 m →
74 315 m²		 S 63.497122°
W 57.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339775085449219 y=0.730140686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339775085449219 × 216)
    floor (0.339775085449219 × 65536)
    floor (22267.5)     		tx = 22267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730140686035156 × 216)
    floor (0.730140686035156 × 65536)
    floor (47850.5)     		ty = 47850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22267 / 47850 ti = "16/22267/47850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22267/47850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22267 ÷ 216
    22267 ÷ 65536     		x = 0.339767456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47850 ÷ 216
    47850 ÷ 65536     		y = 0.730133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339767456054688 × 2 - 1) × π
    -0.320465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00677077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.46026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44596864013937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00677077} λ = -1.00677077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44596864013937))-π/2
    2×atan(0.235517834003706)-π/2
    2×0.231302637036771-π/2
    0.462605274073542-1.57079632675     		φ = -1.10819105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00677077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.683716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10819105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.494670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22267 KachelY 47850 -1.00677077 -1.10819105 -57.683716 -63.494670
    Oben rechts KachelX + 1 22268 KachelY 47850 -1.00667489 -1.10819105 -57.678223 -63.494670
    Unten links KachelX 22267 KachelY + 1 47851 -1.00677077 -1.10823384 -57.683716 -63.497122
    Unten rechts KachelX + 1 22268 KachelY + 1 47851 -1.00667489 -1.10823384 -57.678223 -63.497122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10819105--1.10823384) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dl = 272.61508999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10819105--1.10823384) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dr = 272.61508999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00677077--1.00667489) × cos(-1.10819105) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.446281062462732 × 6371000     		do = 272.611447501154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00677077--1.00667489) × cos(-1.10823384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.446242769589118 × 6371000     		du = 272.588056242633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10819105)-sin(-1.10823384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446281062462732-0.446242769589118)×R²
    abs(-1.00667489--1.00677077)×3.82928736138433e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82928736138433e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82928736138433e-05×40589641000000     		ar = 74314.8059018541m²