Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22266 / 47849
↖ ↑ ↗
← S 63.492218°
W 57.689209°		 ← 272.61 m → S 63.492218°
W 57.683716°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
S 63.494670°
W 57.689209°		 ← 272.58 m →
74 313 m²		 S 63.494670°
W 57.683716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339759826660156 y=0.730125427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339759826660156 × 216)
    floor (0.339759826660156 × 65536)
    floor (22266.5)     		tx = 22266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730125427246094 × 216)
    floor (0.730125427246094 × 65536)
    floor (47849.5)     		ty = 47849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22266 / 47849 ti = "16/22266/47849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22266/47849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22266 ÷ 216
    22266 ÷ 65536     		x = 0.339752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47849 ÷ 216
    47849 ÷ 65536     		y = 0.730117797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.32049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00686664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730117797851562 × 2 - 1) × π
    -0.460235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44587276634013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00686664} λ = -1.00686664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44587276634013))-π/2
    2×atan(0.23554041507569)-π/2
    2×0.231324031284907-π/2
    0.462648062569814-1.57079632675     		φ = -1.10814826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00686664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.689209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10814826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.492218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22266 KachelY 47849 -1.00686664 -1.10814826 -57.689209 -63.492218
    Oben rechts KachelX + 1 22267 KachelY 47849 -1.00677077 -1.10814826 -57.683716 -63.492218
    Unten links KachelX 22266 KachelY + 1 47850 -1.00686664 -1.10819105 -57.689209 -63.494670
    Unten rechts KachelX + 1 22267 KachelY + 1 47850 -1.00677077 -1.10819105 -57.683716 -63.494670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10814826--1.10819105) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dl = 272.61508999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10814826--1.10819105) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dr = 272.61508999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00686664--1.00677077) × cos(-1.10814826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446319354519213 × 6371000     		do = 272.606403254623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00686664--1.00677077) × cos(-1.10819105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446281062462732 × 6371000     		du = 272.583014934837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10814826)-sin(-1.10819105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446319354519213-0.446281062462732)×R²
    abs(-1.00677077--1.00686664)×3.82920564803158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82920564803158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82920564803158e-05×40589641000000     		ar = 74313.4311645117m²