Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22265 / 47848
↖ ↑ ↗
← S 63.489767°
W 57.694702°		 ← 272.63 m → S 63.489767°
W 57.689209°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
S 63.492218°
W 57.694702°		 ← 272.61 m →
74 320 m²		 S 63.492218°
W 57.689209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339744567871094 y=0.730110168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339744567871094 × 216)
    floor (0.339744567871094 × 65536)
    floor (22265.5)     		tx = 22265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730110168457031 × 216)
    floor (0.730110168457031 × 65536)
    floor (47848.5)     		ty = 47848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22265 / 47848 ti = "16/22265/47848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22265/47848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22265 ÷ 216
    22265 ÷ 65536     		x = 0.339736938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47848 ÷ 216
    47848 ÷ 65536     		y = 0.7301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339736938476562 × 2 - 1) × π
    -0.320526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00696251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00696251} λ = -1.00696251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44577689254089))-π/2
    2×atan(0.235562998312711)-π/2
    2×0.23134542736864-π/2
    0.462690854737281-1.57079632675     		φ = -1.10810547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00696251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.694702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10810547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.489767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22265 KachelY 47848 -1.00696251 -1.10810547 -57.694702 -63.489767
    Oben rechts KachelX + 1 22266 KachelY 47848 -1.00686664 -1.10810547 -57.689209 -63.489767
    Unten links KachelX 22265 KachelY + 1 47849 -1.00696251 -1.10814826 -57.694702 -63.492218
    Unten rechts KachelX + 1 22266 KachelY + 1 47849 -1.00686664 -1.10814826 -57.689209 -63.492218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10810547--1.10814826) × R
    4.27900000001813e-05 × 6371000     		dl = 272.615090001155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10810547--1.10814826) × R
    4.27900000001813e-05 × 6371000     		dr = 272.615090001155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00696251--1.00686664) × cos(-1.10810547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44635764575849 × 6371000     		do = 272.629791075272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00696251--1.00686664) × cos(-1.10814826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446319354519213 × 6371000     		du = 272.606403254623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10810547)-sin(-1.10814826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44635764575849-0.446319354519213)×R²
    abs(-1.00686664--1.00696251)×3.82912392768997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82912392768997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82912392768997e-05×40589641000000     		ar = 74319.807106031m²